Subgroups — #27375415

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287351	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286382	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274307	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274159	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273966	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273782	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×Q₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133249	—	2	2	no	—
11	#16811295	C₂²	1	2	yes	—
12	Q₈×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810996	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810970	—	2	2	no	—
17	#16810970	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810904	—	2	2	no	—
19	#16810904	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810870	—	2	2	no	—
21	#16810833	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810823	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810819	—	2	2	no	—
24	#16810819	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810788	—	2	2	no	—
26	#16810763	—	2	2	no	—
27	C₄×D₄₂₄	—	2	2	no	—
28	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810702	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810368	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810366	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810352	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
40	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	2	no	—
41	#13133249	—	4	8	no	—
42	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	4	1	no	—
48	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
50	#13133217	—	2	2	no	—
51	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
52	#13133214	—	2	2	no	—
53	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133197	—	2	2	no	—
55	#13133197	—	4	2	no	—
56	#13133192	—	2	2	no	—
57	#13133192	—	4	2	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
60	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
61	#13133151	—	2	2	no	—
62	#13133151	—	4	1	no	—
63	#13133151	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133140	—	2	2	no	—
66	#13133139	—	2	2	no	—
67	#13133139	—	2	2	no	—
68	#13133139	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	2	no	—
70	#13133139	D₄	1	2	yes	—
71	#13133137	—	2	2	no	—
72	#13133129	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#103×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	#11719949	—	4	4	no	—
85	#11719949	—	8	2	no	—
86	Q₈×D₅₃	—	4	4	no	—
87	Q₈×D₅₃	—	8	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
99	Q₁₆×C₅₃	D₈	1	4	yes	complemented
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#11719925	—	4	4	no	—
111	#11719924	—	4	4	no	—
112	#11719921	—	2	2	no	—
113	#11719921	—	4	2	no	—
114	#11719921	—	4	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	D₄₂₄	—	4	1	no	—
121	D₄₂₄	—	4	4	no	—
122	D₄₂₄	—	8	2	no	—
123	#11719913	—	4	4	no	—
124	#11719913	—	8	2	no	—
125	#11719912	—	4	4	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
129	Q₈×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	D₂₁₂	—	2	2	no	—
138	D₂₁₂	—	2	2	no	—
139	D₂₁₂	—	4	2	no	—
140	D₂₁₂	—	4	2	no	—
141	D₂₁₂	—	4	2	no	—
142	D₂₁₂	—	4	2	no	—
143	D₂₁₂	—	8	4	no	—
144	D₂₁₂	—	8	2	no	—
145	D₂₁₂	—	16	2	no	—
146	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
149	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
157	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
159	#88322	—	4	2	no	—
160	#19888	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
162	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	8	2	no	—
177	#3358	—	53	2	no	—
178	#3278	—	53	2	no	—
179	#1706	—	53	1	no	—
180	#1685	—	53	2	no	—
181	#1682	—	53	2	no	—
182	#1649	—	53	2	no	—
183	#1621	—	53	2	no	—
184	#1589	—	53	1	no	—
185	C₈×Q₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂×C₅₃	#3277	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3291	1	1	yes	characteristic
189	D₅₃	—	8	2	no	—
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	C₂×#137	—	106	2	no	—
192	#550	—	53	2	no	—
193	D₄×Q₈	—	53	2	no	—
194	#500	—	53	1	no	—
195	#493	—	53	1	no	—
196	#492	—	53	2	no	—
197	#486	—	53	2	no	—
198	#486	—	106	2	no	—
199	#474	—	53	2	no	—
200	#474	—	106	2	no	—
201	#468	—	106	2	no	—
202	#462	—	53	2	no	—
203	#460	—	53	2	no	—
204	#459	—	53	2	no	—
205	#459	—	106	2	no	—
206	#452	—	106	2	no	—
207	#448	—	106	2	no	—
208	C₈×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₄×D₈	—	53	1	no	—
211	C₄×D₈	—	106	2	no	—
212	#436	—	53	2	no	—
213	#335	—	53	1	no	—
214	#335	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#332	—	53	2	no	—
216	#331	—	53	2	no	—
217	Q₈⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
219	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₅₃	#19888	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂×#41	—	106	2	no	—
222	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
223	#137	—	212	8	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂×Q₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
226	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×D₈	—	53	1	no	—
230	C₂×D₈	—	106	2	no	—
231	C₂×D₈	—	212	1	no	—
232	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
235	#127	—	53	2	no	—
236	#127	—	106	2	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
239	#121	—	106	2	no	—
240	#121	—	212	2	no	—
241	C₄×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₄×D₄	—	53	2	no	—
243	C₄×D₄	—	106	2	no	—
244	C₄×D₄	—	106	2	no	—
245	#107	—	53	1	no	—
246	#107	—	106	2	no	—
247	#107	—	212	1	no	—
248	#107	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
251	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	#103	—	106	2	no	—
253	#103	D₂₁₂	1	2	yes	—
254	#102	—	53	2	no	—
255	#102	—	106	2	no	—
256	#102	—	106	2	no	—
257	#102	—	106	2	no	—
258	#102	—	106	2	no	—
259	#102	—	106	2	no	—
260	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
261	C₄×C₈	—	2	2	no	—
262	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	424	2	no	—
266	#41	—	212	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
271	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
272	C₂×D₄	—	53	2	no	—
273	C₂×D₄	—	106	2	no	—
274	C₂×D₄	—	106	2	no	—
275	C₂×D₄	—	106	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	2	no	—
277	C₂×D₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
281	Q₁₆	—	212	4	no	—
282	Q₁₆	D₄₂₄	1	4	yes	complemented
283	SD₁₆	—	424	2	no	—
284	SD₁₆	—	212	4	no	—
285	SD₁₆	—	212	4	no	—
286	D₈	—	424	2	no	—
287	D₈	—	212	1	no	—
288	D₈	—	212	4	no	—
289	M₁₆	—	212	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	106	2	no	—
309	C₂³	—	212	2	no	—
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	—	424	4	no	—
312	Q₈	—	212	2	no	—
313	Q₈	—	212	2	no	—
314	Q₈	C₂×D₄₂₄	1	4	yes	—
315	D₄	—	848	2	no	—
316	D₄	—	106	2	no	—
317	D₄	—	106	2	no	—
318	D₄	—	424	2	no	—
319	D₄	—	424	4	no	—
320	D₄	—	212	2	no	—
321	D₄	—	212	2	no	—
322	D₄	—	212	2	no	—
323	D₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	424	4	no	—
328	C₂×C₄	—	424	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	1	no	—
337	C₈	—	2	1	no	—
338	C₈	—	2	1	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	212	2	no	—
341	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
342	C₂²	—	424	2	no	—
343	C₂²	—	424	2	no	—
344	C₂²	—	424	2	no	—
345	C₂²	—	212	2	no	—
346	C₂²	—	212	2	no	—
347	C₂²	—	212	2	no	—
348	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	424	2	no	—
353	C₄	—	212	2	no	—
354	C₄	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811420	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#16811428	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#16811436	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	848	2	no	—
359	C₂	—	424	2	no	—
360	C₂	#20286371	1	1	yes	characteristic
361	C₂	D₄×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20286509	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₈×Q₁₆×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	C₈×Q₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19888
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₈×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287351	C₂	semidirect
2. #20286382	C₂	semidirect
3. #20274307	C₂	semidirect
4. #20274181	C₂	semidirect
5. #20274159	C₂	semidirect
6. #20273966	C₂	semidirect
7. #20273782	C₂	semidirect
8. #20273601	C₂	semidirect
9. C₈×Q₁₆×C₅₃	C₂	semidirect
99. Q₁₆×C₅₃	D₈	semidirect
185. C₈×Q₁₆	D₅₃	semidirect
220. C₅₃	#19888	semidirect
282. Q₁₆	D₄₂₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287351	2
#20286382	2
#20274307	2
#20274181	2
#20274159	2
#20273966	2
#20273782	2
#20273601	2
C₈×Q₁₆×C₅₃	2
#19888	53