Subgroups — #27375417

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287348	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286383	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274307	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274180	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20273967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20273783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133250	—	2	2	no	—
11	#16811294	C₂²	1	2	yes	—
12	D₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810996	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810970	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810968	—	2	2	no	—
18	#16810903	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810902	—	2	2	no	—
20	#16810869	—	2	2	no	—
21	#16810834	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810824	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810818	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810816	—	2	2	no	—
25	#16810787	—	2	2	no	—
26	#16810764	—	2	2	no	—
27	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810703	—	2	2	no	—
30	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810370	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810366	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810355	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#436	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
41	#13133250	—	4	8	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	4	1	no	—
48	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
49	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
50	#13133216	—	2	2	no	—
51	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
52	#13133213	—	2	2	no	—
53	#13133196	—	2	2	no	—
54	#13133194	—	4	2	no	—
55	#13133191	—	2	2	no	—
56	#13133190	—	4	2	no	—
57	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
58	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
59	#13133179	—	2	2	no	—
60	#13133151	—	4	1	no	—
61	#13133151	D₄	1	1	yes	characteristic
62	#13133150	—	2	2	no	—
63	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133146	—	2	2	no	—
65	#13133142	—	2	2	no	—
66	#13133142	D₄	1	2	yes	—
67	#13133139	—	2	2	no	—
68	#13133139	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	2	no	—
70	#13133138	—	2	2	no	—
71	#13133137	—	2	2	no	—
72	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
88	#11719945	—	4	4	no	—
89	#11719945	—	8	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	D₈×C₅₃	—	4	1	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	#11719922	—	4	4	no	—
112	#11719921	—	4	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	#11719919	—	2	2	no	—
117	#11719919	—	4	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
121	Dic₂₁₂	D₈	1	4	yes	complemented
122	D₄₂₄	—	8	2	no	—
123	#11719913	—	4	4	no	—
124	#11719913	—	4	4	no	—
125	#11719913	—	8	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
137	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
142	D₂₁₂	—	4	2	no	—
143	D₂₁₂	—	4	2	no	—
144	D₂₁₂	—	4	2	no	—
145	D₂₁₂	—	4	2	no	—
146	D₂₁₂	—	8	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
148	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
152	Dic₁₀₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
153	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
157	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
159	#88322	—	4	2	no	—
160	#19888	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
174	Dic₅₃	—	2	4	no	—
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	8	2	no	—
177	#3358	—	53	2	no	—
178	#3278	—	53	2	no	—
179	#1706	—	53	1	no	—
180	#1685	—	53	2	no	—
181	#1682	—	53	2	no	—
182	#1649	—	53	2	no	—
183	#1621	—	53	2	no	—
184	#1589	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	C₈×Q₁₆	—	53	1	no	—
186	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×C₅₃	#3277	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3291	1	1	yes	characteristic
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	C₂×#137	—	106	2	no	—
192	#550	—	53	2	no	—
193	D₄×Q₈	—	53	2	no	—
194	#500	—	53	1	no	—
195	#493	—	53	1	no	—
196	#492	—	53	2	no	—
197	#486	—	53	2	no	—
198	#486	—	106	2	no	—
199	#474	—	53	2	no	—
200	#474	—	106	2	no	—
201	#468	—	106	2	no	—
202	#462	—	53	2	no	—
203	#460	—	53	2	no	—
204	#459	—	53	2	no	—
205	#459	—	106	2	no	—
206	#452	—	106	2	no	—
207	#448	—	106	2	no	—
208	C₈×Q₈	—	53	2	no	—
209	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
210	C₄×D₈	—	106	2	no	—
211	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	#436	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
213	#335	—	53	1	no	—
214	#335	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#332	—	53	2	no	—
216	#331	—	53	2	no	—
217	Q₈⋊C₈	—	53	2	no	—
218	D₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₅₃	#19888	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂×#41	—	106	2	no	—
222	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
223	#137	—	212	8	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×D₈	—	106	2	no	—
230	C₂×D₈	—	212	1	no	—
231	C₂×D₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
232	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
235	#127	—	53	2	no	—
236	#127	—	106	2	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
239	#121	—	106	2	no	—
240	#121	—	212	2	no	—
241	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
242	C₄×D₄	—	106	2	no	—
243	C₄×D₄	—	106	2	no	—
244	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	#107	—	53	1	no	—
246	#107	—	106	2	no	—
247	#107	—	212	1	no	—
248	#107	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
250	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
251	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	#103	—	53	2	no	—
253	#103	—	106	2	no	—
254	#102	—	106	2	no	—
255	#102	—	106	2	no	—
256	#102	—	106	2	no	—
257	#102	—	106	2	no	—
258	#102	—	106	2	no	—
259	#102	D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
261	C₄×C₈	—	106	2	no	—
262	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	424	2	no	—
266	#41	—	212	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
272	C₂×D₄	—	106	2	no	—
273	C₂×D₄	—	106	2	no	—
274	C₂×D₄	—	106	2	no	—
275	C₂×D₄	—	212	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	2	no	—
277	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
281	Q₁₆	—	53	4	no	—
282	Q₁₆	—	212	4	no	—
283	SD₁₆	—	424	2	no	—
284	SD₁₆	—	212	4	no	—
285	SD₁₆	—	212	4	no	—
286	D₈	—	4	1	no	—
287	D₈	—	424	2	no	—
288	D₈	—	212	4	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	106	2	no	—
293	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₄²	—	106	2	no	—
307	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	212	2	no	—
310	Q₈	—	53	4	no	—
311	Q₈	—	106	2	no	—
312	Q₈	—	424	4	no	—
313	Q₈	—	212	2	no	—
314	Q₈	—	212	2	no	—
315	D₄	—	2	2	no	—
316	D₄	—	2	2	no	—
317	D₄	—	848	2	no	—
318	D₄	—	424	2	no	—
319	D₄	—	424	4	no	—
320	D₄	—	212	2	no	—
321	D₄	—	212	2	no	—
322	D₄	—	212	2	no	—
323	D₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	2	no	—
328	C₂×C₄	—	106	2	no	—
329	C₂×C₄	—	424	4	no	—
330	C₂×C₄	—	424	4	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	1	no	—
337	C₈	—	2	1	no	—
338	C₈	—	2	1	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	212	2	no	—
341	C₈	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	424	2	no	—
346	C₂²	—	424	2	no	—
347	C₂²	—	424	2	no	—
348	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	106	4	no	—
352	C₄	—	424	2	no	—
353	C₄	—	212	2	no	—
354	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811423	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#16811425	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#16811440	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	—	848	2	no	—
360	C₂	#20286373	1	1	yes	characteristic
361	C₂	D₈×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20286509	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1589	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	#1589	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19888
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #1589

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287348	C₂	semidirect
2. #20286383	C₂	semidirect
3. #20274307	C₂	semidirect
4. #20274180	C₂	semidirect
5. #20274160	C₂	semidirect
6. #20273967	C₂	semidirect
7. #20273783	C₂	semidirect
8. C₈×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1589	C₂	semidirect
121. Dic₂₁₂	D₈	semidirect
184. #1589	D₅₃	semidirect
220. C₅₃	#19888	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287348	2
#20286383	2
#20274307	2
#20274180	2
#20274160	2
#20273967	2
#20273783	2
C₈×Dic₂₁₂	2
C₅₃×#1589	2
#19888	53