Subgroups — #27375421

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20286377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274075	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20273907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20273600	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#11719925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	Q₈×D₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133248	—	2	2	no	—
13	#16811294	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810998	—	2	1	no	—
16	#16810997	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810971	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810871	—	2	2	no	—
19	#16810830	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810823	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810818	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810817	—	2	2	no	—
23	#16810783	—	2	2	no	—
24	#16810762	—	2	2	no	—
25	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#11719925	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810705	—	2	1	no	—
28	#16810701	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810375	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810369	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810366	C₂²	1	2	yes	—
33	Q₈⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810353	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	D₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	D₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#500	—	2	1	no	—
39	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#474	—	2	2	no	—
41	C₅₃×#474	C₂²	1	2	yes	—
42	C₈×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
44	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
46	#13133248	—	4	8	no	—
47	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719925	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
52	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
53	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
54	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
56	#13133214	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133213	—	2	2	no	—
58	#13133191	—	2	2	no	—
59	#13133190	—	4	2	no	—
60	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133179	—	2	2	no	—
62	#13133150	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133146	—	2	1	no	—
66	#13133141	—	2	2	no	—
67	#13133141	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#13133140	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#13133137	—	2	2	no	—
70	#13133137	—	2	2	no	—
71	#13133137	—	4	2	no	—
72	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
73	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
82	C₄×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
86	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
87	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
88	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
92	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
98	C₂×Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
99	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
105	#11719945	—	4	4	no	—
106	#11719945	—	8	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
109	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#11719925	—	4	4	no	—
127	#11719925	D₈	1	4	yes	complemented
128	#11719924	—	4	4	no	—
129	#11719924	—	4	4	no	—
130	#11719924	—	8	2	no	—
131	#11719922	—	8	2	no	—
132	#11719921	—	4	2	no	—
133	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	#11719919	—	2	1	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	#11719917	—	4	4	no	—
137	C₂×#88322	—	2	1	no	—
138	C₂×#88322	—	2	2	no	—
139	C₂×#88322	—	2	1	no	—
140	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	D₄₂₄	—	4	2	no	—
143	D₄₂₄	—	8	1	no	—
144	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
146	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
147	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
148	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
149	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
150	Q₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
151	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
163	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
167	D₂₁₂	—	4	2	no	—
168	D₂₁₂	—	4	2	no	—
169	D₂₁₂	—	4	2	no	—
170	D₂₁₂	—	4	2	no	—
171	D₂₁₂	—	8	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
173	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
174	Dic₁₀₆	C₂×D₈	1	2	yes	—
175	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
177	C₈×C₅₃	#137	1	2	yes	complemented
178	#88322	—	2	1	no	—
179	#88322	—	4	1	no	—
180	#88322	—	4	2	no	—
181	#88322	—	4	1	no	—
182	#88322	C₂×D₈	1	2	yes	—
183	#19889	—	53	1	no	maximal, Sylow
184	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
192	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
193	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
194	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
195	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
196	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
200	Dic₅₃	—	2	2	no	—
201	Dic₅₃	—	4	1	no	—
202	#3391	—	53	1	no	—
203	Q₈×D₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
204	#3278	—	53	2	no	—
205	#1706	—	53	1	no	—
206	#1685	—	53	2	no	—
207	#1674	—	53	1	no	—
208	#1668	—	53	1	no	—
209	#1641	—	53	2	no	—
210	#1627	—	53	2	no	—
211	#1589	—	53	1	no	—
212	C₈×Q₁₆	—	53	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
214	C₂×C₅₃	#3278	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₅₃	#3290	1	1	yes	characteristic
217	D₅₃	—	16	2	no	—
218	C₂×#137	—	106	2	no	—
219	#550	—	53	2	no	—
220	D₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	#500	—	2	1	no	—
222	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#493	—	53	1	no	—
224	#493	—	106	1	no	—
225	#492	—	53	2	no	—
226	#486	—	53	2	no	—
227	#474	—	2	2	no	—
228	#474	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
229	#468	—	106	2	no	—
230	#462	—	53	2	no	—
231	#460	—	53	2	no	—
232	#459	—	53	2	no	—
233	#459	—	106	2	no	—
234	#452	—	106	2	no	—
235	#448	—	106	2	no	—
236	C₈×Q₈	—	53	1	no	—
237	C₈×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
239	C₄×D₈	—	2	1	no	—
240	C₄×D₈	—	106	1	no	—
241	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	#436	—	53	2	no	—
243	#335	—	53	1	no	—
244	#335	—	53	1	no	—
245	#332	—	53	2	no	—
246	#331	—	53	2	no	—
247	Q₈⋊C₈	—	53	1	no	—
248	Q₈⋊C₈	—	53	1	no	—
249	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
250	C₈²	—	53	1	no	—
251	C₅₃	#19889	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
252	C₂×#41	—	106	2	no	—
253	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
254	#137	—	212	8	no	—
255	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
256	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
257	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
258	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
259	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
260	C₂×D₈	—	106	2	no	—
261	C₂×D₈	—	106	1	no	—
262	C₂×D₈	—	106	1	no	—
263	C₂×D₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
265	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
266	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
267	#127	—	53	2	no	—
268	#127	—	106	2	no	—
269	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
271	#121	—	106	2	no	—
272	#121	—	212	2	no	—
273	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
274	C₄×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₄×D₄	—	2	2	no	—
276	C₄×D₄	—	106	2	no	—
277	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
278	#107	—	2	1	no	—
279	#107	—	2	1	no	—
280	#107	—	2	2	no	—
281	#107	—	53	1	no	—
282	#107	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
286	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
287	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	#103	—	53	1	no	—
289	#103	—	53	1	no	—
290	#103	—	106	2	no	—
291	#102	—	2	2	no	—
292	#102	—	106	2	no	—
293	#102	—	106	2	no	—
294	#102	—	212	2	no	—
295	#102	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
297	C₄×C₈	—	2	1	no	—
298	C₄×C₈	—	53	1	no	—
299	C₄×C₈	—	53	1	no	—
300	C₄×C₈	—	106	1	no	—
301	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	#41	—	424	2	no	—
303	#41	—	212	4	no	—
304	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
305	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
307	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
308	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
309	C₂×Q₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×D₄	—	106	2	no	—
311	C₂×D₄	—	106	2	no	—
312	C₂×D₄	—	106	2	no	—
313	C₂×D₄	—	212	2	no	—
314	C₂×D₄	—	212	2	no	—
315	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
319	Q₁₆	—	53	4	no	—
320	Q₁₆	—	212	4	no	—
321	SD₁₆	—	424	2	no	—
322	SD₁₆	—	212	4	no	—
323	SD₁₆	—	212	4	no	—
324	D₈	—	2	2	no	—
325	D₈	—	424	1	no	—
326	D₈	—	424	2	no	—
327	D₈	—	212	2	no	—
328	M₁₆	—	212	4	no	—
329	C₂×C₈	—	2	1	no	—
330	C₂×C₈	—	53	1	no	—
331	C₂×C₈	—	53	1	no	—
332	C₂×C₈	—	106	2	no	—
333	C₂×C₈	—	106	1	no	—
334	C₂×C₈	—	106	1	no	—
335	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
338	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
339	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
341	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
342	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
343	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
348	C₄²	—	2	1	no	—
349	C₄²	—	106	1	no	—
350	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂³	—	2	2	no	—
352	C₂³	—	212	2	no	—
353	Q₈	—	2	1	no	—
354	Q₈	—	4	2	no	—
355	Q₈	—	4	2	no	—
356	Q₈	—	8	4	no	—
357	Q₈	—	53	2	no	—
358	Q₈	—	106	1	no	—
359	Q₈	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
360	D₄	—	2	2	no	—
361	D₄	—	2	2	no	—
362	D₄	—	848	2	no	—
363	D₄	—	424	2	no	—
364	D₄	—	424	4	no	—
365	D₄	—	212	2	no	—
366	D₄	—	212	2	no	—
367	D₄	—	212	2	no	—
368	D₄	—	212	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	—	106	1	no	—
377	C₂×C₄	—	106	1	no	—
378	C₂×C₄	—	424	4	no	—
379	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
382	C₈	—	2	1	no	—
383	C₈	—	4	1	no	—
384	C₈	—	53	2	no	—
385	C₈	—	106	1	no	—
386	C₈	—	212	1	no	—
387	C₈	—	212	2	no	—
388	C₈	—	212	1	no	—
389	C₈	#13133248	1	2	yes	complemented
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	424	2	no	—
394	C₂²	—	424	2	no	—
395	C₂²	—	424	2	no	—
396	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	4	1	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	8	2	no	—
402	C₄	—	106	2	no	—
403	C₄	—	212	1	no	—
404	C₄	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#16811424	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#16811431	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	8	2	no	—
409	C₂	—	848	2	no	—
410	C₂	#20286377	1	1	yes	characteristic
411	C₂	D₈×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#20286501	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	Q₈×D₈×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
prime radical	#20287689	C₂
hypercenter	Q₈×D₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19889
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ Q₈×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20286377	C₂	semidirect
3. #20274308	C₂	semidirect
4. #20274182	C₂	semidirect
5. #20274106	C₂	semidirect
6. #20274075	C₂	semidirect
7. #20273907	C₂	semidirect
8. #20273818	C₂	semidirect
9. #20273600	C₂	semidirect
10. C₈×#11719925	C₂	semidirect
11. Q₈×D₈×C₅₃	C₂	semidirect
127. #11719925	D₈	semidirect
177. C₈×C₅₃	#137	semidirect
203. Q₈×D₈	D₅₃	semidirect
251. C₅₃	#19889	semidirect
389. C₈	#13133248	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287689	2
#20286377	2
#20274308	2
#20274182	2
#20274106	2
#20274075	2
#20273907	2
#20273818	2
#20273600	2
C₈×#11719925	2
Q₈×D₈×C₅₃	2
#19889	53