Subgroups — #27375610

Order 13568.

672 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287064	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20287021	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20286436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274262	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274105	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274081	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274002	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20274001	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₈×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133236	—	2	1	no	—
13	#16811278	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811277	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16811021	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810974	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810959	—	2	2	no	—
20	#16810935	—	2	2	no	—
21	#16810904	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810903	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810869	—	2	2	no	—
24	#16810865	—	2	1	no	—
25	#16810856	—	2	1	no	—
26	#16810829	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810828	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810786	—	2	2	no	—
29	#16810770	—	2	2	no	—
30	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#107×D₅₃	—	2	1	no	—
34	#16810625	—	2	2	no	—
35	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810370	C₂²	1	2	yes	—
37	#16810368	C₂²	1	2	yes	—
38	#16810352	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#16810352	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#436	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₅₃×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₈²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
47	#13133236	—	4	4	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
49	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
50	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
52	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
54	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
55	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
56	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133201	—	4	2	no	—
58	#13133199	—	4	2	no	—
59	#13133197	—	2	2	no	—
60	#13133196	—	2	2	no	—
61	#13133191	—	2	2	no	—
62	#13133188	—	2	2	no	—
63	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
67	#13133151	—	2	1	no	—
68	#13133151	—	2	1	no	—
69	#13133151	—	2	2	no	—
70	#13133151	D₄	1	1	yes	characteristic
71	#13133150	—	2	2	no	—
72	#13133149	—	4	2	no	—
73	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#13133142	—	2	2	no	—
76	#13133142	—	2	2	no	—
77	#13133142	—	2	2	no	—
78	#13133140	—	2	2	no	—
79	#13133139	—	2	2	no	—
80	#13133139	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#13133139	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#13133138	—	2	2	no	—
83	#13133129	—	2	1	no	—
84	#13133129	—	2	1	no	—
85	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
100	#11719947	—	4	4	no	—
101	#11719947	—	8	2	no	—
102	#11719945	—	4	4	no	—
103	#11719945	—	8	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
111	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	M₁₆×C₅₃	—	8	2	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
123	#11719923	—	4	4	no	—
124	#11719921	—	2	1	no	—
125	#11719921	—	2	1	no	—
126	#11719921	—	4	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	#11719919	—	4	2	no	—
135	C₂×#88322	—	2	1	no	—
136	C₂×#88322	—	2	1	no	—
137	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
138	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
139	D₄₂₄	—	2	2	no	—
140	#11719913	—	8	2	no	—
141	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
142	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
146	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
155	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
161	D₂₁₂	—	2	1	no	—
162	D₂₁₂	—	2	1	no	—
163	D₂₁₂	—	2	1	no	—
164	D₂₁₂	#135	1	2	yes	complemented
165	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
166	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
167	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
168	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
169	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
171	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
174	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
177	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
178	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
180	#88322	—	4	1	no	—
181	#88322	—	4	1	no	—
182	#19902	—	53	1	no	maximal, Sylow
183	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
187	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
188	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
189	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
190	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
191	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
192	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
195	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
199	Dic₅₃	—	4	1	no	—
200	Dic₅₃	—	4	1	no	—
201	Dic₅₃	—	8	2	no	—
202	Dic₅₃	—	8	2	no	—
203	#3334	—	53	1	no	—
204	#3330	—	53	2	no	—
205	#3283	—	53	1	no	—
206	#1707	—	53	1	no	—
207	#1699	—	53	2	no	—
208	#1673	—	53	1	no	—
209	#1669	—	53	1	no	—
210	#1654	—	53	2	no	—
211	#1654	—	53	2	no	—
212	#1589	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
213	C₈×D₈	—	53	1	no	—
214	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
215	C₂×C₅₃	#3272	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₅₃	#3280	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₅₃	#3293	1	1	yes	characteristic
218	D₅₃	—	4	2	no	—
219	D₅₃	—	8	1	no	—
220	C₂×#135	—	106	1	no	—
221	#547	—	53	2	no	—
222	#547	—	53	2	no	—
223	#500	—	53	1	no	—
224	#498	—	53	2	no	—
225	#494	—	53	1	no	—
226	#487	—	53	2	no	—
227	#484	—	106	2	no	—
228	#480	—	106	2	no	—
229	#474	—	53	2	no	—
230	#474	—	53	2	no	—
231	#468	—	106	2	no	—
232	#467	—	106	1	no	—
233	#466	—	106	1	no	—
234	#461	—	53	2	no	—
235	#461	—	53	2	no	—
236	#452	—	106	2	no	—
237	#449	—	106	2	no	—
238	C₄×D₈	—	53	1	no	—
239	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#436	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₈×D₄	—	53	1	no	—
242	C₈×D₄	—	53	1	no	—
243	C₂×#107	—	106	1	no	—
244	#417	—	106	2	no	—
245	#335	—	53	1	no	—
246	#335	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	#332	—	53	2	no	—
248	#332	—	53	2	no	—
249	D₄⋊C₈	—	53	1	no	—
250	D₄⋊C₈	—	53	1	no	—
251	D₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₈²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₅₃	#19902	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
254	C₂×#41	—	106	2	no	—
255	C₂×#41	—	106	2	no	—
256	#135	—	212	4	no	—
257	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
258	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
259	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
260	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
261	C₂×D₈	—	53	1	no	—
262	C₂×D₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
263	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
265	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
266	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
267	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
268	#123	—	212	2	no	—
269	#123	—	212	2	no	—
270	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
271	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
272	#121	—	106	2	no	—
273	#121	—	106	2	no	—
274	C₄×D₄	—	53	1	no	—
275	C₄×D₄	—	53	1	no	—
276	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
278	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
279	#107	—	53	1	no	—
280	#107	—	106	2	no	—
281	#107	—	106	1	no	—
282	#107	—	106	1	no	—
283	#107	—	106	2	no	—
284	#107	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	#106	—	212	2	no	—
286	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
287	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
288	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
289	#103	—	106	2	no	—
290	#103	—	106	2	no	—
291	#103	—	106	2	no	—
292	#103	—	106	2	no	—
293	#102	—	53	1	no	—
294	#102	—	53	1	no	—
295	#102	—	106	2	no	—
296	#102	—	106	2	no	—
297	#102	D₂₁₂	1	2	yes	—
298	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
299	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
300	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
301	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	#41	—	424	2	no	—
305	#41	—	424	2	no	—
306	#41	—	212	4	no	—
307	#41	—	212	4	no	—
308	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
309	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
310	C₂×D₄	—	53	1	no	—
311	C₂×D₄	—	53	1	no	—
312	C₂×D₄	—	212	2	no	—
313	C₂×D₄	—	212	2	no	—
314	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
315	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
318	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
320	Q₁₆	—	424	1	no	—
321	Q₁₆	—	212	2	no	—
322	SD₁₆	—	424	2	no	—
323	SD₁₆	—	212	4	no	—
324	D₈	—	2	2	no	—
325	D₈	—	106	2	no	—
326	M₁₆	—	8	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	1	no	—
328	C₂×C₈	—	2	2	no	—
329	C₂×C₈	—	106	1	no	—
330	C₂×C₈	—	106	1	no	—
331	C₂×C₈	—	212	2	no	—
332	C₂×C₈	—	212	2	no	—
333	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
338	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
339	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
341	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
342	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
343	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
344	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
345	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
346	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
348	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
349	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
350	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
351	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂³	—	2	2	no	—
353	C₂³	—	106	1	no	—
354	C₂³	—	106	1	no	—
355	Q₈	—	212	2	no	—
356	Q₈	—	212	2	no	—
357	Q₈	—	212	2	no	—
358	Q₈	—	212	2	no	—
359	D₄	—	2	2	no	—
360	D₄	—	2	2	no	—
361	D₄	—	53	2	no	—
362	D₄	—	106	1	no	—
363	D₄	—	106	1	no	—
364	D₄	—	106	1	no	—
365	D₄	—	424	4	no	—
366	D₄	—	424	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	106	1	no	—
371	C₂×C₄	—	106	1	no	—
372	C₂×C₄	—	424	4	no	—
373	C₂×C₄	—	424	4	no	—
374	C₂×C₄	—	212	2	no	—
375	C₂×C₄	—	212	2	no	—
376	C₂×C₄	—	212	1	no	—
377	C₂×C₄	—	212	1	no	—
378	C₂×C₄	—	212	1	no	—
379	C₂×C₄	—	212	1	no	—
380	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
383	C₈	—	2	2	no	—
384	C₈	—	2	1	no	—
385	C₈	—	2	1	no	—
386	C₈	—	2	1	no	—
387	C₈	—	4	2	no	—
388	C₈	—	212	1	no	—
389	C₈	—	212	1	no	—
390	C₈	#13133245	1	2	yes	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	106	2	no	—
395	C₂²	—	212	1	no	—
396	C₂²	—	212	1	no	—
397	C₂²	—	212	1	no	—
398	C₂²	—	212	1	no	—
399	C₂²	—	212	1	no	—
400	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	424	2	no	—
404	C₄	—	424	2	no	—
405	C₄	—	212	1	no	—
406	C₄	—	212	1	no	—
407	C₄	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
408	C₄	C₂×#13133245	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#16811424	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#16811435	1	1	yes	characteristic
411	C₂	—	8	2	no	—
412	C₂	—	424	1	no	—
413	C₂	—	212	2	no	—
414	C₂	#20286317	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#20286401	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#20286520	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1589	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	#1589	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19902
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #1589

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287064	C₂	semidirect
2. #20287021	C₂	semidirect
3. #20286436	C₂	semidirect
4. #20274312	C₂	semidirect
5. #20274262	C₂	semidirect
6. #20274105	C₂	semidirect
7. #20274081	C₂	semidirect
8. #20274002	C₂	semidirect
9. #20274001	C₂	semidirect
10. C₈×D₄₂₄	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1589	C₂	semidirect
164. D₂₁₂	#135	semidirect
212. #1589	D₅₃	semidirect
253. C₅₃	#19902	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287064	2
#20287021	2
#20286436	2
#20274312	2
#20274262	2
#20274105	2
#20274081	2
#20274002	2
#20274001	2
C₈×D₄₂₄	2
C₅₃×#1589	2
#19902	53