Subgroups — #27375645

Order 13568.

604 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₈×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20287003	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274292	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274116	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20273943	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20273600	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#11719923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	D₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811027	—	2	1	no	—
15	#16810975	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810973	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810964	—	2	2	no	—
18	#16810915	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810903	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810901	—	2	2	no	—
21	#16810867	—	2	2	no	—
22	#16810828	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810761	—	2	2	no	—
24	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#11719923	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	D₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
27	#16810701	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810631	—	2	2	no	—
29	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810373	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810372	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810368	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810353	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	D₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	D₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#555	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#482	—	2	2	no	—
40	C₅₃×#476	C₂²	1	2	yes	—
41	C₅₃×#466	—	2	1	no	—
42	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₅₃×#427	—	2	1	no	—
45	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719923	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
49	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
50	#13133216	—	2	2	no	—
51	#13133196	—	2	2	no	—
52	#13133194	—	4	2	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	#13133151	—	2	1	no	—
56	#13133151	—	2	1	no	—
57	#13133150	—	2	2	no	—
58	#13133150	—	2	2	no	—
59	#13133148	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
61	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#13133146	—	2	1	no	—
63	#13133141	—	4	2	no	—
64	#13133140	—	2	2	no	—
65	#13133140	—	2	2	no	—
66	#13133140	—	2	2	no	—
67	#13133140	—	2	2	no	—
68	#13133140	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#13133138	—	2	2	no	—
70	#13133138	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
72	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#124×C₅₃	—	4	2	no	—
79	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
80	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
85	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
86	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
87	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
91	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
92	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
119	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	#11719923	—	2	2	no	—
123	#11719923	—	8	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	#11719919	—	2	1	no	—
128	#11719919	—	4	2	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
130	#11719917	—	8	2	no	—
131	C₂×#88322	—	2	1	no	—
132	C₂×#88322	—	2	2	no	—
133	C₂×#88322	—	2	1	no	—
134	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
138	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
140	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
142	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	16	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
158	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
160	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
161	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
162	Dic₁₀₆	#135	1	2	yes	—
163	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
165	C₈×C₅₃	#137	1	2	yes	—
166	#88322	—	2	1	no	—
167	#88322	—	2	1	no	—
168	#88322	—	4	1	no	—
169	#88322	—	4	2	no	—
170	#88322	—	4	1	no	—
171	#19905	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
182	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
183	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
187	Dic₅₃	—	2	2	no	—
188	Dic₅₃	—	4	1	no	—
189	Dic₅₃	—	8	2	no	—
190	Q₈×D₈	—	53	1	no	—
191	#3341	D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#3329	—	53	2	no	—
193	#1710	—	53	1	no	—
194	#1703	—	53	2	no	—
195	#1676	—	53	1	no	—
196	#1673	—	53	1	no	—
197	#1646	—	53	2	no	—
198	#1637	—	53	2	no	—
199	#1589	—	53	1	no	—
200	C₈×SD₁₆	—	53	1	no	—
201	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
202	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
203	C₂×C₅₃	#3276	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#3280	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₅₃	#3290	1	1	yes	characteristic
206	#555	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	D₄×Q₈	—	53	2	no	—
208	#500	—	53	1	no	—
209	#500	—	106	1	no	—
210	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#487	—	53	2	no	—
212	#487	—	53	2	no	—
213	#485	—	106	2	no	—
214	#482	—	2	2	no	—
215	#477	—	53	2	no	—
216	#476	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	#474	—	53	2	no	—
218	#474	—	106	2	no	—
219	#468	—	106	2	no	—
220	#466	—	2	1	no	—
221	#461	—	53	2	no	—
222	#448	—	106	2	no	—
223	C₈×Q₈	—	53	1	no	—
224	C₄×SD₁₆	—	53	1	no	—
225	C₄×D₈	—	106	1	no	—
226	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	#436	—	53	2	no	—
228	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	#427	—	2	1	no	—
230	#419	—	106	2	no	—
231	#335	—	53	1	no	—
232	#334	—	53	1	no	—
233	#333	—	53	2	no	—
234	#332	—	53	2	no	—
235	Q₈⋊C₈	—	53	1	no	—
236	D₄⋊C₈	—	53	1	no	—
237	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
238	C₈²	—	53	1	no	—
239	C₅₃	#19905	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
240	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
241	C₂×SD₁₆	—	53	1	no	—
242	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
243	C₂×D₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
245	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
247	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
248	C₄⋊Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	#124	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
251	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
252	#121	—	2	2	no	—
253	#121	—	2	2	no	—
254	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
255	C₄×D₄	—	106	2	no	—
256	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	#117	—	2	2	no	—
259	#117	—	2	2	no	—
260	#107	—	2	1	no	—
261	#107	—	2	1	no	—
262	#107	—	106	2	no	—
263	#107	—	106	1	no	—
264	#107	—	106	1	no	—
265	#107	—	106	2	no	—
266	#107	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	#106	—	2	2	no	—
268	#106	—	53	1	no	—
269	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
270	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
271	C₄⋊C₈	—	106	1	no	—
272	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#103	—	53	1	no	—
274	#103	—	106	2	no	—
275	#103	—	106	2	no	—
276	#103	—	106	2	no	—
277	#103	—	106	2	no	—
278	#103	—	212	2	no	—
279	#102	—	2	2	no	—
280	#102	—	53	1	no	—
281	#102	—	106	2	no	—
282	#102	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
284	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₄×C₈	—	53	1	no	—
286	C₄×C₈	—	53	1	no	—
287	C₄×C₈	—	106	1	no	—
288	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
295	C₂×D₄	—	4	2	no	—
296	C₂×D₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
301	SD₁₆	—	106	2	no	—
302	SD₁₆	—	424	2	no	—
303	D₈	—	2	2	no	—
304	M₁₆	—	424	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	53	1	no	—
308	C₂×C₈	—	53	1	no	—
309	C₂×C₈	—	106	2	no	—
310	C₂×C₈	—	106	1	no	—
311	C₂×C₈	—	106	1	no	—
312	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
318	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
321	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	—	106	1	no	—
330	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	—	2	1	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	8	2	no	—
334	Q₈	—	53	2	no	—
335	Q₈	—	106	1	no	—
336	Q₈	—	424	4	no	—
337	Q₈	—	212	2	no	—
338	Q₈	—	212	2	no	—
339	D₄	—	2	1	no	—
340	D₄	—	2	2	no	—
341	D₄	—	2	1	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	16	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	106	1	no	—
352	C₂×C₄	—	106	1	no	—
353	C₂×C₄	—	424	4	no	—
354	C₂×C₄	—	212	2	no	—
355	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	4	1	no	—
360	C₈	—	106	1	no	—
361	C₈	—	106	1	no	—
362	C₈	—	212	1	no	—
363	C₈	—	212	2	no	—
364	C₈	—	212	1	no	—
365	C₈	#13133247	1	2	yes	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	1	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	106	2	no	—
378	C₄	—	424	2	no	—
379	C₄	—	212	1	no	—
380	C₄	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
381	C₄	C₂×#13133247	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#16811425	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#16811438	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	8	1	no	—
385	C₂	—	8	2	no	—
386	C₂	#20286357	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20286394	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#20286497	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₅₃×#3341	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	#3341	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19905
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #3341

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. D₈×Dic₁₀₆	C₂	semidirect
2. #20287003	C₂	semidirect
3. #20274324	C₂	semidirect
4. #20274292	C₂	semidirect
5. #20274116	C₂	semidirect
6. #20274104	C₂	semidirect
7. #20273943	C₂	semidirect
8. #20273879	C₂	semidirect
9. #20273600	C₂	semidirect
10. C₈×#11719923	C₂	semidirect
239. C₅₃	#19905	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₈×Dic₁₀₆	2
#20287003	2
#20274324	2
#20274292	2
#20274116	2
#20274104	2
#20273943	2
#20273879	2
#20273600	2
C₈×#11719923	2
C₅₃×#3341	2
#19905	53