Subgroups — #27375678

Order 13568.

692 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20274320	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20274274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274085	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20273915	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20273802	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20273600	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#11719924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#3391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133236	—	2	1	no	—
13	#16811277	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810969	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810969	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810939	—	2	2	no	—
18	#16810908	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810874	—	2	2	no	—
20	#16810865	—	2	1	no	—
21	#16810828	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810815	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810786	—	2	2	no	—
24	#16810768	—	2	2	no	—
25	C₄×#11719924	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810701	C₂²	1	2	yes	—
27	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810624	—	2	2	no	—
29	#16810376	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810373	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810370	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810367	C₂²	1	2	yes	—
33	Q₈⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	D₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810350	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#550	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#493	—	2	1	no	—
39	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#459	—	2	2	no	—
41	C₅₃×#459	C₂²	1	2	yes	—
42	C₈×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
44	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
46	#13133236	—	4	4	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
49	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719924	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
53	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
54	#13133217	C₂³	1	2	yes	—
55	#13133201	—	4	2	no	—
56	#13133197	—	2	2	no	—
57	#13133191	—	2	2	no	—
58	C₄×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
60	#13133148	—	2	2	no	—
61	#13133148	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₄⋊#88322	C₂³	1	2	yes	—
63	C₄⋊#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#13133141	—	2	2	no	—
65	#13133141	D₄	1	1	yes	characteristic
66	#13133140	—	2	2	no	—
67	#13133138	—	2	2	no	—
68	#13133138	—	2	2	no	—
69	#13133138	—	2	2	no	—
70	#13133138	—	4	2	no	—
71	#13133137	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
73	#13133129	—	2	1	no	—
74	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
78	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
82	#127×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
83	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#121×C₅₃	—	4	2	no	—
85	C₄×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	#107×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
92	#102×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
96	#41×C₅₃	—	8	2	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	#11719947	—	4	4	no	—
109	#11719947	—	8	2	no	—
110	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
113	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
115	D₈×C₅₃	—	8	1	no	—
116	D₈×C₅₃	—	8	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₄²×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#11719924	—	2	2	no	—
128	#11719923	—	4	4	no	—
129	#11719922	—	8	2	no	—
130	#11719921	—	2	1	no	—
131	#11719921	—	4	2	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#11719917	—	8	2	no	—
137	C₂×#88322	—	2	1	no	—
138	C₂×#88322	—	2	2	no	—
139	C₂×#88322	—	2	1	no	—
140	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
143	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
144	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
148	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
149	Q₈×C₅₃	#135	1	2	yes	complemented
150	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
157	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
158	D₄×C₅₃	—	16	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
165	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
168	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
172	D₂₁₂	—	2	1	no	—
173	D₂₁₂	—	2	1	no	—
174	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
175	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
176	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
177	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
178	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
180	C₈×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
181	#88322	—	2	1	no	—
182	#88322	—	2	1	no	—
183	#88322	—	4	1	no	—
184	#88322	—	4	1	no	—
185	#88322	—	4	2	no	—
186	#19908	—	53	1	no	maximal, Sylow
187	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
192	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
193	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
194	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
195	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
196	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
197	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
198	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
199	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
200	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
201	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
202	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
203	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
204	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
205	Dic₅₃	—	4	1	no	—
206	Dic₅₃	—	8	2	no	—
207	#3391	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
208	#3332	—	53	2	no	—
209	#3283	—	53	1	no	—
210	#1709	—	53	1	no	—
211	#1701	—	53	2	no	—
212	#1670	—	53	1	no	—
213	#1667	—	53	1	no	—
214	#1642	—	53	2	no	—
215	#1625	—	53	2	no	—
216	#1589	—	53	1	no	—
217	C₈×SD₁₆	—	53	1	no	—
218	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
219	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
220	C₂×C₅₃	#3274	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₅₃	#3280	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₅₃	#3290	1	1	yes	characteristic
223	D₅₃	—	8	1	no	—
224	C₂×#135	—	106	1	no	—
225	#550	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
226	#547	—	53	2	no	—
227	#494	—	53	1	no	—
228	#493	—	2	1	no	—
229	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#486	—	53	2	no	—
231	#486	—	53	2	no	—
232	#481	—	106	2	no	—
233	#475	—	53	2	no	—
234	#469	—	106	2	no	—
235	#467	—	106	1	no	—
236	#461	—	53	2	no	—
237	#459	—	2	2	no	—
238	#459	—	53	2	no	—
239	#459	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
240	#452	—	106	2	no	—
241	#449	—	106	2	no	—
242	C₈×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₄×SD₁₆	—	53	1	no	—
244	C₄×D₈	—	2	1	no	—
245	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#436	—	53	2	no	—
247	C₈×D₄	—	53	1	no	—
248	#417	—	106	2	no	—
249	#335	—	53	1	no	—
250	#334	—	53	1	no	—
251	#332	—	53	2	no	—
252	#331	—	53	2	no	—
253	Q₈⋊C₈	—	53	1	no	—
254	D₄⋊C₈	—	53	2	no	—
255	D₄⋊C₈	—	53	1	no	—
256	C₈²	—	53	1	no	—
257	C₅₃	#19908	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
258	C₂×#41	—	2	2	no	—
259	C₂×#41	—	106	2	no	—
260	#135	—	212	4	no	—
261	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
262	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
263	C₂×SD₁₆	—	53	1	no	—
264	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
265	C₂×D₈	—	2	2	no	—
266	C₂×D₈	—	2	1	no	—
267	C₂×D₈	—	2	1	no	—
268	C₂×D₈	—	106	2	no	—
269	C₂×D₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
271	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
272	C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
273	#127	—	2	2	no	—
274	#127	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
275	#123	—	212	2	no	—
276	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
277	#121	—	2	2	no	—
278	#121	—	4	2	no	—
279	#121	—	106	2	no	—
280	C₄×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₄×D₄	—	2	2	no	—
282	C₄×D₄	—	53	1	no	—
283	C₄×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
285	#107	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	#106	—	53	1	no	—
287	#106	—	106	2	no	—
288	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
290	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
291	C₄⋊C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	#103	—	53	1	no	—
293	#103	—	106	2	no	—
294	#103	—	106	2	no	—
295	#102	—	2	2	no	—
296	#102	—	53	1	no	—
297	#102	—	106	2	no	—
298	#102	—	106	2	no	—
299	#102	—	106	2	no	—
300	#102	—	212	2	no	—
301	#102	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
303	C₂²⋊C₈	—	106	1	no	—
304	C₄×C₈	—	2	1	no	—
305	C₄×C₈	—	53	1	no	—
306	C₄×C₈	—	53	1	no	—
307	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	#41	—	4	4	no	—
309	#41	—	8	2	no	—
310	#41	—	424	2	no	—
311	#41	—	212	4	no	—
312	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
313	C₂×Q₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂×D₄	—	2	2	no	—
315	C₂×D₄	—	2	2	no	—
316	C₂×D₄	—	2	2	no	—
317	C₂×D₄	—	4	2	no	—
318	C₂×D₄	—	4	2	no	—
319	C₂×D₄	—	53	1	no	—
320	C₂×D₄	—	212	2	no	—
321	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
325	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
326	Q₁₆	—	424	1	no	—
327	Q₁₆	—	212	2	no	—
328	SD₁₆	—	106	2	no	—
329	SD₁₆	—	212	4	no	—
330	D₈	—	2	2	no	—
331	D₈	—	4	2	no	—
332	D₈	—	8	1	no	—
333	D₈	—	8	2	no	—
334	D₈	—	424	2	no	—
335	M₁₆	—	424	2	no	—
336	C₂×C₈	—	2	1	no	—
337	C₂×C₈	—	53	1	no	—
338	C₂×C₈	—	53	1	no	—
339	C₂×C₈	—	106	2	no	—
340	C₂×C₈	—	106	1	no	—
341	C₂×C₈	—	106	1	no	—
342	C₂×C₈	—	212	2	no	—
343	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
346	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
347	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
348	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
349	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
350	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
352	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
353	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
354	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
355	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
356	C₄²	—	2	1	no	—
357	C₄²	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₂³	—	2	2	no	—
359	C₂³	—	4	2	no	—
360	C₂³	—	106	1	no	—
361	Q₈	—	2	1	no	—
362	Q₈	—	212	2	no	—
363	Q₈	—	212	2	no	—
364	Q₈	#13133236	1	2	yes	complemented
365	D₄	—	2	2	no	—
366	D₄	—	2	2	no	—
367	D₄	—	4	2	no	—
368	D₄	—	4	2	no	—
369	D₄	—	4	2	no	—
370	D₄	—	4	2	no	—
371	D₄	—	8	4	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	16	2	no	—
374	D₄	—	106	1	no	—
375	D₄	—	106	1	no	—
376	D₄	—	424	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	1	no	—
378	C₂×C₄	—	2	1	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	106	1	no	—
384	C₂×C₄	—	424	4	no	—
385	C₂×C₄	—	212	2	no	—
386	C₂×C₄	—	212	1	no	—
387	C₂×C₄	—	212	1	no	—
388	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
391	C₈	—	2	1	no	—
392	C₈	—	4	1	no	—
393	C₈	—	106	1	no	—
394	C₈	—	106	1	no	—
395	C₈	—	212	1	no	—
396	C₈	—	212	1	no	—
397	C₈	—	212	2	no	—
398	C₈	#13133242	1	2	yes	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	212	1	no	—
406	C₂²	—	212	1	no	—
407	C₂²	—	212	1	no	—
408	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
409	C₄	—	2	1	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	4	2	no	—
413	C₄	—	424	2	no	—
414	C₄	—	212	1	no	—
415	C₄	C₂×#13133236	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#13133242	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#16811424	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#16811426	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	8	2	no	—
420	C₂	—	16	2	no	—
421	C₂	—	424	1	no	—
422	C₂	#20286335	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#20286400	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#20286497	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₄²×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₄²	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3391	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	#3391	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#19908
LCS	G ▷ C₄²×C₅₃ ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ #3391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287042	C₂	semidirect
2. #20286436	C₂	semidirect
3. #20274320	C₂	semidirect
4. #20274274	C₂	semidirect
5. #20274085	C₂	semidirect
6. #20274067	C₂	semidirect
7. #20273915	C₂	semidirect
8. #20273802	C₂	semidirect
9. #20273600	C₂	semidirect
10. C₈×#11719924	C₂	semidirect
11. C₅₃×#3391	C₂	semidirect
149. Q₈×C₅₃	#135	semidirect
207. #3391	D₅₃	semidirect
257. C₅₃	#19908	semidirect
364. Q₈	#13133236	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287042	2
#20286436	2
#20274320	2
#20274274	2
#20274085	2
#20274067	2
#20273915	2
#20273802	2
#20273600	2
C₈×#11719924	2
C₅₃×#3391	2
#19908	53