Subgroups — #27381454

Order 13568.

2206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×M₁₆×D₅₃	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274410	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#11719912	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×M₁₆×D₅₃	—	2	8	no	—
11	C₂×M₁₆×D₅₃	—	2	8	no	—
12	C₂×M₁₆×D₅₃	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133174	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133174	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×#13133174	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#16810377	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
38	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
39	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
40	M₁₆×D₅₃	—	2	64	no	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₈×D₅₃	—	2	8	no	—
43	C₂×C₈×D₅₃	—	2	8	no	—
44	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
45	#13133174	—	2	16	no	—
46	#13133174	—	2	8	no	—
47	#13133174	—	2	8	no	—
48	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
49	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
51	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
67	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
69	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	8	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
103	#11719921	—	2	16	no	—
104	#11719919	—	2	16	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	#11719917	—	2	16	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	#11719912	—	2	32	no	—
112	C₈×D₅₃	—	2	32	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₅₃	#95	1	16	yes	—
123	C₂²×D₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
124	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂×Dic₅₃	#95	1	16	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₄×D₅₃	#95	1	32	yes	—
146	C₄×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₄×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
151	#88322	—	2	8	no	—
152	#20335	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	C₂×#95	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
161	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
162	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
163	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
165	C₂×D₅₃	C₂×#95	1	8	yes	—
166	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₄×C₅₃	C₂×#95	1	4	yes	—
168	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	4	4	no	—
171	Dic₅₃	C₂×#95	1	8	yes	—
172	C₂³×M₁₆	—	53	2	no	—
173	C₂²×#117	—	53	1	no	—
174	#1729	—	53	8	no	—
175	#1728	—	53	1	no	—
176	#1728	—	53	2	no	—
177	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
178	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₂×C₅₃	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#2873	1	2	yes	—
181	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	#2905	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	2	8	no	—
184	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
185	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
186	C₂²×M₁₆	—	53	16	no	—
187	C₂²×M₁₆	—	53	4	no	—
188	C₂²×M₁₆	—	106	8	no	—
189	C₂²×M₁₆	—	106	8	no	—
190	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂³×C₈	—	53	4	no	—
192	C₂×#117	—	53	4	no	—
193	C₂×#117	—	53	4	no	—
194	C₂×#117	—	106	8	no	—
195	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
197	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
198	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#336	—	53	8	no	—
200	#336	—	53	4	no	—
201	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
202	C₅₃	#20335	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂⁵	—	53	1	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
212	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
215	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
216	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
217	C₂×M₁₆	—	53	16	no	—
218	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
219	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
220	C₂×M₁₆	—	106	64	no	—
221	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
223	C₂×M₁₆	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
224	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	16	no	—
226	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
227	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
228	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
229	#117	—	106	16	no	—
230	#117	—	106	8	no	—
231	#117	—	106	8	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
236	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
240	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂⁴	—	53	2	no	—
243	C₂⁴	—	53	4	no	—
244	C₂⁴	—	53	4	no	—
245	C₂⁴	—	53	4	no	—
246	C₂⁴	—	212	4	no	—
247	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	32	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	32	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	M₁₆	—	2	16	no	—
276	M₁₆	—	106	32	no	—
277	M₁₆	—	106	16	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	53	8	no	—
281	C₂×C₈	—	106	32	no	—
282	C₂×C₈	—	106	4	no	—
283	C₂×C₈	—	106	4	no	—
284	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	106	4	no	—
290	C₄²	—	106	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	53	4	no	—
293	C₂³	—	53	4	no	—
294	C₂³	—	53	4	no	—
295	C₂³	—	53	16	no	—
296	C₂³	—	106	8	no	—
297	C₂³	—	212	8	no	—
298	C₂³	—	212	8	no	—
299	C₂³	—	212	8	no	—
300	C₂³	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	53	4	no	—
308	C₂×C₄	—	53	4	no	—
309	C₂×C₄	—	53	4	no	—
310	C₂×C₄	—	53	16	no	—
311	C₂×C₄	—	53	8	no	—
312	C₂×C₄	—	53	8	no	—
313	C₂×C₄	—	53	8	no	—
314	C₂×C₄	—	53	8	no	—
315	C₂×C₄	—	53	32	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	8	no	—
318	C₂×C₄	—	212	8	no	—
319	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	8	no	—
329	C₈	—	106	8	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	53	8	no	—
334	C₂²	—	106	8	no	—
335	C₂²	—	106	8	no	—
336	C₂²	—	106	8	no	—
337	C₂²	—	212	16	no	—
338	C₂²	#95×D₅₃	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	53	8	no	—
345	C₄	—	212	4	no	—
346	C₄	#95×D₅₃	1	4	yes	—
347	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	106	8	no	—
351	C₂	C₂×#95×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20283132	1	2	yes	—
353	C₂	#20283158	1	2	yes	—
354	C₂	#20283277	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20335
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274410	C₂	semidirect
4. #20274409	C₂	semidirect
5. #20274408	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
12. C₂×M₁₆×D₅₃	C₄	semidirect
20. #16810378	C₂²	semidirect
21. #16810377	C₂²	semidirect
24. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
39. C₂×#11719912	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	semidirect
177. #1728	D₅₃	semidirect
201. #336	C₂×D₅₃	semidirect
202. C₅₃	#20335	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×M₁₆×D₅₃	2
C₂²×#13133174	2
#20274410	2
#20274409	2
#20274408	2
C₅₃×#1728	2
#20335	53