Subgroups — #27381499

Order 13568.

2270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#11719912	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#117×D₅₃	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20274433	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719912	—	2	8	no	—
9	C₂²×#11719912	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₂²×#11719912	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133175	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133174	—	2	2	no	—
15	C₂×#13133173	—	2	2	no	—
16	#117×D₅₃	—	2	8	no	—
17	#117×D₅₃	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
20	C₂×C₄²×D₅₃	—	2	2	no	—
21	#16810386	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#16810385	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#340	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂⁴×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	8	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11719912	—	2	32	no	—
36	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
37	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
38	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
39	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
40	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	#13133176	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	#13133175	—	2	8	no	—
45	#13133175	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	#13133174	—	2	16	no	—
47	#13133173	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
50	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
51	C₄⋊C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
54	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
57	C₄²×D₅₃	—	2	16	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
63	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
70	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	16	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
105	#11719921	—	2	16	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	#11719919	—	2	16	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
111	C₂×#88322	—	2	8	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	#11719912	—	2	32	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₅₃	#95	1	16	yes	—
123	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	#95	1	16	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₄×D₅₃	—	4	32	no	—
144	C₄×D₅₃	#95	1	32	yes	—
145	C₄×D₅₃	C₂×C₄²	1	8	yes	—
146	C₄×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₄×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
150	#88322	—	2	4	no	—
151	#20347	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×#95	1	4	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
158	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
159	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
160	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
161	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
162	C₂×D₅₃	C₂×#95	1	8	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
164	C₄×C₅₃	C₂×#95	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	Dic₅₃	—	4	8	no	—
169	Dic₅₃	C₂×#95	1	8	yes	—
170	C₂³×M₁₆	—	53	1	no	—
171	C₂²×#117	—	53	2	no	—
172	#1736	—	53	8	no	—
173	#1735	—	53	1	no	—
174	#1735	—	53	2	no	—
175	#1735	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
176	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂×C₅₃	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#2896	1	4	yes	—
179	C₂×C₅₃	#2911	1	2	yes	—
180	D₅₃	—	2	8	no	—
181	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
182	C₂²×M₁₆	—	53	8	no	—
183	C₂²×M₁₆	—	53	4	no	—
184	C₂²×M₁₆	—	106	8	no	—
185	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
186	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂×#117	—	53	2	no	—
188	C₂×#117	—	53	16	no	—
189	C₂×#117	—	53	4	no	—
190	C₂×#117	—	106	2	no	—
191	C₂×#117	—	106	2	no	—
192	C₂×#117	—	106	8	no	—
193	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
195	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
196	C₂²×C₄²	—	106	2	no	—
197	#340	—	53	4	no	—
198	#340	—	53	8	no	—
199	#340	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
200	C₅₃	#20347	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
201	C₂⁵	—	53	1	no	—
202	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
203	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
209	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
210	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×M₁₆	—	53	16	no	—
212	C₂×M₁₆	—	106	32	no	—
213	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
214	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
215	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
218	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
219	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
220	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	#117	—	2	4	no	—
222	#117	—	53	8	no	—
223	#117	—	53	16	no	—
224	#117	—	106	16	no	—
225	#117	—	106	16	no	—
226	#117	—	106	8	no	—
227	#117	—	106	4	no	—
228	#117	C₄×D₅₃	1	8	yes	complemented
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	106	16	no	—
240	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
241	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
242	C₂⁴	—	53	2	no	—
243	C₂⁴	—	53	8	no	—
244	C₂⁴	—	53	4	no	—
245	C₂⁴	—	212	4	no	—
246	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	32	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	106	32	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	53	4	no	—
276	C₂×C₈	—	106	8	no	—
277	C₂×C₈	—	106	4	no	—
278	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
283	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
287	C₄²	—	2	8	no	—
288	C₄²	—	106	16	no	—
289	C₄²	—	106	8	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	53	4	no	—
292	C₂³	—	53	4	no	—
293	C₂³	—	53	4	no	—
294	C₂³	—	53	16	no	—
295	C₂³	—	106	8	no	—
296	C₂³	—	212	16	no	—
297	C₂³	—	212	8	no	—
298	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
299	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	53	4	no	—
304	C₂×C₄	—	53	4	no	—
305	C₂×C₄	—	53	4	no	—
306	C₂×C₄	—	53	16	no	—
307	C₂×C₄	—	53	8	no	—
308	C₂×C₄	—	53	8	no	—
309	C₂×C₄	—	53	8	no	—
310	C₂×C₄	—	53	8	no	—
311	C₂×C₄	—	53	32	no	—
312	C₂×C₄	—	106	8	no	—
313	C₂×C₄	—	212	32	no	—
314	C₂×C₄	—	212	8	no	—
315	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	106	4	no	—
326	C₂²	—	2	8	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	53	8	no	—
329	C₂²	—	106	8	no	—
330	C₂²	—	106	8	no	—
331	C₂²	—	106	8	no	—
332	C₂²	—	212	16	no	—
333	C₂²	#95×D₅₃	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811420	1	4	yes	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	53	8	no	—
339	C₄	—	212	8	no	—
340	C₄	#95×D₅₃	1	4	yes	—
341	C₄	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	106	8	no	—
346	C₂	C₂×#95×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20283230	1	4	yes	—
348	C₂	#20283303	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	D₄×D₅₃
commutator	C₄×C₅₃	C₂²×C₄²
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1735	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1735	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20347
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1735

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274433	C₂	semidirect
4. #20274432	C₂	semidirect
5. #20274431	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1735	C₂	semidirect
9. C₂²×#11719912	C₄	semidirect
17. #117×D₅₃	C₄	semidirect
21. #16810386	C₂²	semidirect
22. #16810385	C₂²	semidirect
25. C₅₃×#340	C₂²	semidirect
38. C₂×#11719912	C₂×C₄	semidirect
40. C₂²×#88322	C₂×C₄	semidirect
43. #13133176	C₂×C₄	semidirect
51. C₄⋊C₄×D₅₃	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
63. #117×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
175. #1735	D₅₃	semidirect
199. #340	C₂×D₅₃	semidirect
200. C₅₃	#20347	semidirect
219. C₂²×C₈	C₄×D₅₃	semidirect
228. #117	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#11719912	2
C₂×#117×D₅₃	2
#20274433	2
#20274432	2
#20274431	2
C₅₃×#1735	2
#20347	53