Subgroups — #27381638

Order 13568.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810586	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×M₁₆×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274480	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133174	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133174	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#13133174	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810586	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
17	M₁₆×Dic₅₃	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
35	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
37	#13133174	—	2	16	no	—
38	#13133174	—	2	8	no	—
39	#13133174	—	2	8	no	—
40	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
41	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
43	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133129	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
48	#13133127	—	2	8	no	—
49	C₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂³×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
64	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	8	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
96	#11719921	—	2	16	no	—
97	#11719919	—	2	16	no	—
98	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
99	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	#11719917	—	2	16	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
117	C₂²×D₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
136	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
138	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
139	C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
140	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
141	#88322	—	2	8	no	—
142	#20377	—	53	1	no	maximal, Sylow
143	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
151	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
152	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
154	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
157	C₄×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
160	Dic₅₃	—	2	8	no	—
161	Dic₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×#117	—	53	1	no	—
163	C₂×#407	—	53	2	no	—
164	C₂×C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
165	#1750	—	53	8	no	—
166	#1728	—	53	1	no	—
167	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
168	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₂×C₅₃	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2873	1	2	yes	—
171	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
172	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
173	D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
175	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
176	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	C₂×#117	—	53	4	no	—
178	C₂×#117	—	53	4	no	—
179	C₂×#117	—	106	8	no	—
180	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
182	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
183	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	#407	—	53	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
186	C₄×M₁₆	—	106	8	no	—
187	C₂×#97	—	53	4	no	—
188	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
189	#336	—	53	4	no	—
190	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
191	C₅₃	#20377	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
192	C₂⁵	—	53	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
194	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
195	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
196	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
197	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
198	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
199	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
201	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
204	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
205	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
206	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
208	C₂×M₁₆	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
209	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
210	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
211	#117	—	106	16	no	—
212	#117	—	106	8	no	—
213	#117	—	106	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂²⋊C₈	—	53	32	no	—
225	#97	—	106	8	no	—
226	C₄×C₈	—	106	8	no	—
227	C₂⁴	—	53	2	no	—
228	C₂⁴	—	53	4	no	—
229	C₂⁴	—	106	2	no	—
230	C₂⁴	—	106	2	no	—
231	C₂⁴	—	212	4	no	—
232	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	M₁₆	—	2	16	no	—
259	M₁₆	—	106	16	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	53	8	no	—
263	C₂×C₈	—	106	4	no	—
264	C₂×C₈	—	106	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	53	8	no	—
271	C₄²	—	53	4	no	—
272	C₄²	—	53	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	53	4	no	—
275	C₂³	—	106	2	no	—
276	C₂³	—	106	2	no	—
277	C₂³	—	106	8	no	—
278	C₂³	—	106	8	no	—
279	C₂³	—	212	8	no	—
280	C₂³	—	212	8	no	—
281	C₂³	—	212	8	no	—
282	C₂³	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	53	4	no	—
290	C₂×C₄	—	53	8	no	—
291	C₂×C₄	—	106	2	no	—
292	C₂×C₄	—	106	2	no	—
293	C₂×C₄	—	106	8	no	—
294	C₂×C₄	—	106	8	no	—
295	C₂×C₄	—	106	8	no	—
296	C₂×C₄	—	106	8	no	—
297	C₂×C₄	—	106	16	no	—
298	C₂×C₄	—	212	8	no	—
299	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#13133177	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#13133179	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	—	106	8	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	106	4	no	—
314	C₂²	—	106	8	no	—
315	C₂²	—	212	16	no	—
316	C₂²	—	212	4	no	—
317	C₂²	—	212	4	no	—
318	C₂²	#16810470	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	106	8	no	—
325	C₄	—	106	4	no	—
326	C₄	#16810470	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×#13133177	1	2	yes	—
328	C₄	C₂×#13133179	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	212	4	no	—
331	C₂	C₂×#16810470	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20283132	1	2	yes	—
333	C₂	#20283158	1	2	yes	—
334	C₂	#20283352	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20377
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×M₁₆×Dic₅₃	C₂	semidirect
4. #20274480	C₂	semidirect
5. #20274409	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
15. #16810586	C₄	semidirect
18. C₂×#13133127	C₂²	semidirect
19. C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
20. #16810378	C₂²	semidirect
23. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
47. #13133129	C₂×C₄	semidirect
167. #1728	D₅₃	semidirect
190. #336	C₂×D₅₃	semidirect
191. C₅₃	#20377	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133174	2
C₂×#16810586	2
C₂×M₁₆×Dic₅₃	2
#20274480	2
#20274409	2
C₅₃×#1728	2
#20377	53