Subgroups — #27381641

Order 13568.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×M₁₆×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274483	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₅₃×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#13133176	—	2	8	no	—
9	C₂×#13133176	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×#13133176	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810587	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
17	M₁₆×Dic₅₃	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#16810377	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#407	C₄	1	8	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
28	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	#13133176	—	2	16	no	—
32	#13133176	—	2	8	no	—
33	#13133176	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
45	#13133127	—	2	8	no	—
46	C₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
61	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
101	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	#11719917	—	2	16	no	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂×#88322	—	2	4	no	—
106	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
143	#88322	—	2	8	no	—
144	#20377	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
162	Dic₅₃	—	2	8	no	—
163	Dic₅₃	—	4	4	no	—
164	C₂²×#117	—	53	1	no	—
165	C₂×#407	—	53	1	no	—
166	C₂×#407	D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
168	#1750	—	53	8	no	—
169	#1728	—	53	2	no	—
170	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×C₅₃	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#2873	1	2	yes	—
174	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
175	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
176	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
178	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
179	C₂×#117	—	53	4	no	—
180	C₂×#117	—	53	4	no	—
181	C₂×#117	—	106	8	no	—
182	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
185	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
186	#407	—	53	8	no	—
187	#407	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
188	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
190	C₄×M₁₆	—	106	8	no	—
191	C₂×#97	—	53	4	no	—
192	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
193	#336	—	53	8	no	—
194	C₅₃	#20377	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
195	C₂⁵	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
199	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
200	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
201	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
204	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
208	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
209	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
210	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
211	C₂×M₁₆	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
212	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
213	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
214	#117	—	106	16	no	—
215	#117	—	106	8	no	—
216	#117	—	106	8	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
221	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
223	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
225	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
228	C₂²⋊C₈	C₂×Dic₅₃	1	16	yes	complemented
229	#97	—	106	8	no	—
230	C₄×C₈	—	106	8	no	—
231	C₂⁴	—	2	2	no	—
232	C₂⁴	—	2	2	no	—
233	C₂⁴	—	4	4	no	—
234	C₂⁴	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
235	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
251	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	2	16	no	—
263	M₁₆	—	106	16	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	53	8	no	—
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
272	C₄²	—	53	8	no	—
273	C₄²	—	53	4	no	—
274	C₄²	—	53	4	no	—
275	C₄²	—	106	4	no	—
276	C₄²	—	106	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂³	#13133173	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	53	8	no	—
297	C₂×C₄	—	106	8	no	—
298	C₂×C₄	—	106	4	no	—
299	C₂×C₄	—	106	8	no	—
300	C₂×C₄	—	212	8	no	—
301	C₂×C₄	—	212	8	no	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#13133173	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#13133177	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
312	C₈	—	2	8	no	—
313	C₈	—	106	8	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	4	16	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	106	8	no	—
329	C₄	—	212	4	no	—
330	C₄	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#13133177	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	C₂×C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20283133	1	2	yes	—
337	C₂	#20283158	1	2	yes	—
338	C₂	#20283350	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₂×C₅₃×#407	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#407	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20377
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#407

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×M₁₆×Dic₅₃	C₂	semidirect
4. #20274483	C₂	semidirect
5. #20274408	C₂	semidirect
15. #16810587	C₄	semidirect
18. C₂×#13133127	C₂²	semidirect
19. C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
20. #16810377	C₂²	semidirect
23. C₅₃×#407	C₄	semidirect
44. C₂²⋊#88322	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
187. #407	Dic₅₃	semidirect
194. C₅₃	#20377	semidirect
228. C₂²⋊C₈	C₂×Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133176	2
C₂×#16810587	2
C₂×M₁₆×Dic₅₃	2
#20274483	2
#20274408	2
C₂×C₅₃×#407	2
#20377	53