Subgroups — #27381701

Order 13568.

1774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274493	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂²⋊C₄×#88322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×#88322	—	2	8	no	—
10	C₂³×#88322	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810587	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810579	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#16810378	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#381	C₄	1	2	yes	—
24	C₅₃×#380	C₄	1	4	yes	—
25	C₅₃×#379	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
28	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×#88322	—	2	32	no	—
31	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
32	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
33	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
34	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	16	yes	—
44	#13133128	—	2	8	no	—
45	C₄×#88322	—	2	8	no	—
46	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
56	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
91	#11719917	—	2	16	no	—
92	C₂×#88322	—	2	8	no	—
93	C₂×#88322	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂×#88322	—	2	4	no	—
96	C₂×#88322	—	2	16	no	—
97	C₂×#88322	—	2	16	no	—
98	C₂×#88322	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
99	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	16	no	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₅₃	#131	1	8	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
134	#88322	—	2	4	no	—
135	#88322	—	2	8	no	—
136	#88322	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	#88322	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	#20385	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	2	32	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#405	1	8	yes	complemented
147	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
150	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
152	C₄×C₅₃	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂⁴×C₈	—	53	1	no	—
157	C₂×#407	—	53	1	no	—
158	C₂×#405	—	53	2	no	—
159	#2280	D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	#1752	—	53	4	no	—
161	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
162	#1729	—	53	2	no	—
163	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
165	C₂×C₅₃	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	2	yes	—
167	C₂×C₅₃	#2929	1	4	yes	—
168	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
170	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
171	C₂³×C₈	—	53	8	no	—
172	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
173	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
174	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
175	C₂³×C₈	—	106	8	no	—
176	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	#407	—	53	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
179	#405	—	106	8	no	—
180	C₂×#97	—	53	4	no	—
181	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
182	#381	Dic₅₃	1	2	yes	—
183	#380	Dic₅₃	1	4	yes	—
184	#379	Dic₅₃	1	2	yes	—
185	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
186	#336	—	53	8	no	—
187	C₅₃	#20385	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
188	C₂⁵	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
192	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
193	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
194	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
198	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
199	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
200	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
201	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
202	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
203	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
204	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
205	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
206	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
207	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
208	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
209	C₂²×C₈	—	106	32	no	—
210	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
211	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
212	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
213	#117	—	2	4	no	—
214	#117	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
219	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
220	#97	—	106	8	no	—
221	C₄×C₈	—	106	8	no	—
222	#95	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	8	no	—
225	C₂⁴	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
226	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	106	16	no	—
248	C₂×C₈	—	53	16	no	—
249	C₂×C₈	—	53	2	no	—
250	C₂×C₈	—	53	2	no	—
251	C₂×C₈	—	53	4	no	—
252	C₂×C₈	—	53	4	no	—
253	C₂×C₈	—	53	8	no	—
254	C₂×C₈	—	53	4	no	—
255	C₂×C₈	—	106	16	no	—
256	C₂×C₈	—	106	16	no	—
257	C₂×C₈	—	106	8	no	—
258	C₂×C₈	—	106	4	no	—
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	32	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
274	C₂³	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
275	C₂³	#13133224	1	8	yes	—
276	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	16	no	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#13133173	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#13133177	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
295	C₈	—	53	4	no	—
296	C₈	—	53	4	no	—
297	C₈	—	106	4	no	—
298	C₈	—	106	8	no	—
299	C₂²	—	2	32	no	—
300	C₂²	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	16	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
306	C₂²	#16810579	1	8	yes	complemented
307	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂×#13133224	1	4	yes	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	4	8	no	—
312	C₄	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
313	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₄	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
315	C₄	C₂×#13133177	1	2	yes	—
316	C₂	—	2	8	no	—
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	C₂×C₂²⋊C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#16810579	1	2	yes	—
320	C₂	#20283410	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#2280	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2280	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20385
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2280

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16810579	C₂	semidirect
4. #20274493	C₂	semidirect
5. C₂²⋊C₄×#88322	C₂	semidirect
6. #20274412	C₂	semidirect
10. C₂³×#88322	C₄	semidirect
15. #16810587	C₄	semidirect
18. C₂×#13133128	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄×#88322	C₂²	semidirect
20. #16810378	C₂²	semidirect
98. C₂×#88322	C₂²⋊C₄	semidirect
146. C₂²×C₅₃	#405	semidirect
187. C₅₃	#20385	semidirect
306. C₂²	#16810579	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#88322	2
C₂×#16810587	2
C₂×#16810579	2
#20274493	2
C₂²⋊C₄×#88322	2
#20274412	2
C₅₃×#2280	2
#20385	53