Subgroups — #27381978

Order 13568.

1174 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810651	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810649	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×M₁₆×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×C₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#117×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274571	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274563	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274412	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810651	C₄	1	8	yes	complemented
15	#16810649	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
18	M₁₆×Dic₅₃	—	2	4	no	—
19	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
21	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₄	1	4	yes	—
25	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₄	1	4	yes	—
26	#16810469	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
38	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
39	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133176	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#13133176	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	Q₈	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#13133146	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
54	#13133146	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
55	#13133127	—	2	4	no	—
56	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
57	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
58	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
59	#13133124	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
70	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	C₄²	1	8	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	8	yes	—
103	C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
104	C₄×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
105	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	#11719917	—	2	8	no	—
112	C₂×#88322	—	2	8	no	—
113	C₂×#88322	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	8	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂×Dic₅₃	#131	1	8	yes	—
146	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
148	#88322	—	2	4	no	—
149	#88322	—	2	4	no	—
150	C₄×#424	—	53	1	no	maximal, Sylow
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
159	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
160	C₄×C₅₃	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	Dic₅₃	—	2	8	no	—
166	Dic₅₃	—	2	4	no	—
167	Dic₅₃	#424	1	8	yes	complemented
168	C₂×#424	—	53	1	no	—
169	C₂×#424	—	53	1	no	—
170	C₂×C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
171	C₂²×C₄×C₈	—	53	1	no	—
172	C₄×#117	—	53	1	no	—
173	#1768	—	53	4	no	—
174	C₄×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
175	#1729	—	53	1	no	—
176	#1729	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂×C₅₃	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₄×#131	1	2	yes	—
180	C₂×C₅₃	C₂×#424	1	2	yes	—
181	C₂×C₅₃	#2922	1	2	yes	—
182	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
183	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
185	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×#117	—	53	1	no	—
187	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
189	#424	—	53	8	no	—
190	#424	—	53	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
193	C₄×M₁₆	—	106	4	no	—
194	C₂×#97	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
197	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄×C₈	—	106	4	no	—
199	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
200	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
201	#376	—	53	2	no	—
202	C₄³	—	53	2	no	—
203	#336	—	53	4	no	—
204	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₅₃	C₄×#424	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
207	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
209	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
210	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
211	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
212	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
213	C₂×M₁₆	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
214	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
218	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
219	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
220	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
221	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
222	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	#117	—	2	2	no	—
225	#117	—	2	2	no	—
226	#117	—	53	4	no	—
227	#117	—	53	4	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
235	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
236	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
237	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
239	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₈	—	53	16	no	—
241	C₄⋊C₈	—	53	16	no	—
242	#97	—	106	4	no	—
243	C₄×C₈	—	106	4	no	—
244	C₄×C₈	—	106	4	no	—
245	C₄×C₈	—	106	4	no	—
246	#95	—	53	8	no	—
247	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	106	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	53	4	no	—
270	C₂×C₈	—	53	4	no	—
271	C₂×C₈	—	106	8	no	—
272	C₂×C₈	—	106	2	no	—
273	C₂×C₈	—	106	2	no	—
274	C₂×C₈	—	106	2	no	—
275	C₂×C₈	—	106	2	no	—
276	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	53	8	no	—
285	C₄²	—	53	4	no	—
286	C₄²	—	53	4	no	—
287	C₄²	—	53	2	no	—
288	C₄²	—	53	2	no	—
289	C₄²	—	53	2	no	—
290	C₄²	—	53	2	no	—
291	C₄²	—	106	16	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂³	#13133173	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	53	4	no	—
300	C₂×C₄	—	53	8	no	—
301	C₂×C₄	—	53	8	no	—
302	C₂×C₄	—	53	4	no	—
303	C₂×C₄	—	106	16	no	—
304	C₂×C₄	—	106	8	no	—
305	C₂×C₄	—	106	4	no	—
306	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#13133173	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#13133177	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#13133177	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#13133182	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#13133182	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	106	4	no	—
322	C₈	—	106	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	#16810474	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#131×D₅₃	1	4	yes	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	53	8	no	—
333	C₄	—	106	8	no	—
334	C₄	—	106	4	no	—
335	C₄	#16810474	1	4	yes	—
336	C₄	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
339	C₄	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	C₂×#16810474	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20283137	1	2	yes	—
343	C₂	#424×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂	#20283355	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#1729	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1729	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₄×#424
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1729

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #20274571	C₂	semidirect
7. #20274563	C₂	semidirect
14. #16810651	C₄	semidirect
15. #16810649	C₄	semidirect
53. #13133146	C₂×C₄	semidirect
54. #13133146	C₂×C₄	semidirect
167. Dic₅₃	#424	semidirect
205. C₅₃	C₄×#424	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810651	2
C₂×#16810649	2
C₂×M₁₆×Dic₅₃	2
C₂²×C₈×Dic₅₃	2
#117×Dic₅₃	2
#20274571	2
#20274563	2
#20274412	2
C₅₃×#1729	2
C₄×#424	53