Subgroups — #27382638

Order 13568.

1206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810705	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277075	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#107×Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274543	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#107×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133179	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	#16810705	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×#11719921	—	2	4	no	—
22	#16810470	—	2	2	no	—
23	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#95×D₅₃	—	2	2	no	—
25	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
33	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
37	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
38	#13133179	—	2	8	no	—
39	#13133179	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
46	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
47	#13133137	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
48	#13133128	—	2	2	no	—
49	#13133127	—	2	4	no	—
50	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	#13133124	—	2	4	no	—
52	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
53	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
54	#13133124	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#107×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
73	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
80	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
86	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	#11719921	—	2	8	no	—
90	#11719921	—	2	16	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×Dic₅₃	—	8	4	no	—
94	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₄×Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
96	C₂×#88322	—	2	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	2	no	—
98	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	D₄₂₄	C₄²	1	16	yes	complemented
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×Dic₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
126	D₂₁₂	—	2	4	no	—
127	D₂₁₂	—	2	8	no	—
128	D₂₁₂	C₂×C₄²	1	8	yes	—
129	C₄×D₅₃	—	8	16	no	—
130	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
131	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₈×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
133	#88322	—	2	4	no	—
134	#20508	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
140	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
148	C₄×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
151	Dic₅₃	—	2	4	no	—
152	Dic₅₃	—	2	4	no	—
153	Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄×D₈	—	53	2	no	—
155	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
156	#2275	—	53	2	no	—
157	C₄×#107	—	53	2	no	—
158	C₄×#107	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
159	#1762	—	53	2	no	—
160	#1762	—	53	4	no	—
161	#1726	—	53	1	no	—
162	C₂×C₅₃	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₅₃	#2948	1	2	yes	—
164	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	#2951	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#2951	1	2	yes	—
167	D₅₃	—	4	8	no	—
168	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
169	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
170	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
171	C₄×D₈	—	53	16	no	—
172	C₄×D₈	—	53	8	no	—
173	C₂×#107	—	53	1	no	—
174	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×#102	—	53	2	no	—
176	C₂×#102	—	53	4	no	—
177	C₂×#97	—	53	2	no	—
178	C₂×#97	—	53	1	no	—
179	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
180	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
185	#376	—	53	1	no	—
186	C₂×#95	—	106	2	no	—
187	#340	—	53	4	no	—
188	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	C₅₃	#20508	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
191	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
192	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
193	C₂×D₈	—	53	8	no	—
194	C₂×D₈	—	53	4	no	—
195	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₄×D₄	—	53	16	no	—
199	C₄×D₄	—	53	8	no	—
200	C₄×D₄	—	106	8	no	—
201	C₄×D₄	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#107	—	53	4	no	—
211	#107	C₄×D₅₃	1	8	yes	complemented
212	#102	—	53	8	no	—
213	#102	—	53	16	no	—
214	#97	—	106	4	no	—
215	#97	—	106	2	no	—
216	C₄×C₈	—	53	8	no	—
217	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
218	#95	—	2	2	no	—
219	#95	—	53	1	no	—
220	#95	—	53	2	no	—
221	#95	—	53	1	no	—
222	#95	—	106	4	no	—
223	C₂⁴	—	106	2	no	—
224	C₂×D₄	—	53	4	no	—
225	C₂×D₄	—	53	8	no	—
226	C₂×D₄	—	106	4	no	—
227	C₂×D₄	—	106	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
237	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	D₈	—	53	16	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	53	4	no	—
243	C₂×C₈	—	106	2	no	—
244	C₂×C₈	—	106	2	no	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₄²	—	53	4	no	—
256	C₄²	—	53	4	no	—
257	C₄²	—	424	4	no	—
258	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
260	C₂³	—	106	8	no	—
261	C₂³	—	106	4	no	—
262	C₂³	—	212	2	no	—
263	C₂³	—	212	4	no	—
264	C₂³	—	212	2	no	—
265	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	53	8	no	—
267	D₄	—	106	4	no	—
268	D₄	—	106	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	53	4	no	—
276	C₂×C₄	—	53	4	no	—
277	C₂×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂×C₄	—	106	2	no	—
280	C₂×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂×C₄	—	106	4	no	—
282	C₂×C₄	—	424	8	no	—
283	C₂×C₄	—	424	16	no	—
284	C₂×C₄	—	212	4	no	—
285	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	106	4	no	—
293	C₈	C₄²×D₅₃	1	4	yes	—
294	C₂²	—	106	8	no	—
295	C₂²	—	212	8	no	—
296	C₂²	—	212	4	no	—
297	C₂²	—	212	4	no	—
298	C₂²	—	212	8	no	—
299	C₂²	C₄×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#16811424	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#16811425	1	2	yes	—
303	C₂²	#16811436	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	106	4	no	—
308	C₄	—	106	4	no	—
309	C₄	—	212	4	no	—
310	C₄	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#16811091	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₄×#11719949	1	2	yes	—
313	C₂	—	212	8	no	—
314	C₂	C₄×#13133179	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#20283562	1	2	yes	—
316	C₂	#20283566	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#20283589	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#20283590	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₄×C₅₃	C₂²×C₄²
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#107×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#107	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20508
LCS	G ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#107

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277075	C₂	semidirect
4. #107×Dic₅₃	C₂	semidirect
5. #20274543	C₂	semidirect
6. #20274539	C₂	semidirect
7. #20274401	C₂	semidirect
8. C₄×#107×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
13. #16810705	C₄	semidirect
37. C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
39. #13133179	C₂×C₄	semidirect
45. #13133151	C₂×C₄	semidirect
46. #13133139	C₂×C₄	semidirect
47. #13133137	C₂×C₄	semidirect
50. C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	semidirect
60. #107×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
99. D₄₂₄	C₄²	semidirect
158. C₄×#107	D₅₃	semidirect
189. C₅₃	#20508	semidirect
211. #107	C₄×D₅₃	semidirect
217. C₄×C₈	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
C₂×#16810705	2
#20277075	2
#107×Dic₅₃	2
#20274543	2
#20274539	2
#20274401	2
C₄×#107×C₅₃	2
#20508	53