Subgroups — #27382727

Order 13568.

838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810754	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20274590	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20274590	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274584	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20274572	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274402	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#16810754	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#391	C₄	1	2	yes	—
29	C₅₃×#389	C₄	1	2	yes	—
30	C₅₃×#387	C₄	1	4	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#376	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	#13133128	—	2	4	no	—
43	#13133128	—	2	4	no	—
44	#13133128	—	2	4	no	—
45	#13133128	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	#13133128	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₄×#88322	—	2	2	no	—
48	C₄×#88322	—	2	4	no	—
49	C₄×#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₄×#88322	Q₈	1	4	yes	complemented
51	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₄×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
81	C₄⋊C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
82	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
92	C₂×#88322	—	2	2	no	—
93	C₂×#88322	—	2	2	no	—
94	C₂×#88322	—	2	2	no	—
95	C₂×#88322	—	2	2	no	—
96	C₂×#88322	—	2	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	2	no	—
98	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	#88322	—	2	4	no	—
128	#88322	—	2	4	no	—
129	#88322	—	2	4	no	—
130	#88322	C₄×Q₈	1	8	yes	—
131	#20518	—	53	1	no	maximal, Sylow
132	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
136	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
137	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
145	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	2	yes	—
146	C₂×#446	—	53	2	no	—
147	#2295	D₅₃	1	1	yes	characteristic
148	#1771	—	53	2	no	—
149	#1771	—	53	2	no	—
150	#1770	—	53	2	no	—
151	#1768	—	53	2	no	—
152	#1767	—	53	1	no	—
153	#1726	—	53	2	no	—
154	C₄×#97	—	53	1	no	—
155	C₂×C₅₃	C₄²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#2873	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	#2875	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	#2961	1	2	yes	—
159	C₂×C₅₃	#2967	1	2	yes	—
160	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
161	#446	—	53	16	no	—
162	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
165	C₂×#97	—	53	2	no	—
166	C₂×#97	—	53	2	no	—
167	C₂×#97	—	53	2	no	—
168	C₂×#97	—	53	2	no	—
169	C₂×#97	—	53	2	no	—
170	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
171	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
172	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
174	#391	Dic₅₃	1	2	yes	—
175	#389	Dic₅₃	1	2	yes	—
176	#387	Dic₅₃	1	4	yes	—
177	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	#376	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#336	—	53	1	no	—
182	#336	—	53	1	no	—
183	#336	—	53	2	no	—
184	#336	—	53	2	no	—
185	C₅₃	#20518	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
186	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
191	C₄×Q₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
204	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
205	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
206	#97	—	53	8	no	—
207	#97	—	53	8	no	—
208	#97	—	106	4	no	—
209	#97	—	106	4	no	—
210	#97	—	106	4	no	—
211	C₄×C₈	—	53	8	no	—
212	C₄×C₈	—	53	4	no	—
213	C₄×C₈	—	106	4	no	—
214	C₄×C₈	—	106	2	no	—
215	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
216	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
217	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
218	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₈	—	53	4	no	—
230	C₂×C₈	—	53	4	no	—
231	C₂×C₈	—	53	4	no	—
232	C₂×C₈	—	53	4	no	—
233	C₂×C₈	—	53	4	no	—
234	C₂×C₈	—	53	4	no	—
235	C₂×C₈	—	106	2	no	—
236	C₂×C₈	—	106	2	no	—
237	C₂×C₈	—	106	2	no	—
238	C₂×C₈	—	106	2	no	—
239	C₂×C₈	—	106	2	no	—
240	C₂×C₈	—	106	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
253	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	Q₈×Dic₅₃	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
278	C₈	—	53	8	no	—
279	C₈	—	106	4	no	—
280	C₈	—	106	4	no	—
281	C₈	—	106	4	no	—
282	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×Q₈×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#41×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
286	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	4	4	no	—
294	C₄	C₄×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₄	C₄×#11719949	1	2	yes	—
296	C₂	C₄×Q₈×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#20283134	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#20283143	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#20283656	1	2	yes	—
300	C₂	#20283702	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#2295	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2295	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20518
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2295

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
10. #16810754	C₄	semidirect
50. C₄×#88322	Q₈	semidirect
185. C₅₃	#20518	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810754	2
#20274590	2
#20274584	2
#20274572	2
#20274568	2
#20274402	2
C₄×#13133128	2
C₅₃×#2295	2
#20518	53