Subgroups — #27382767

Order 13568.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810585	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#11719921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274498	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274495	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274479	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719912	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810585	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₄×#11719921	C₄	1	4	yes	—
18	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#11719921	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133124	C₄	1	2	yes	—
21	#16810378	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#16810377	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11719912	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719912	—	4	4	no	—
37	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
38	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
40	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	#13133129	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
47	#13133127	—	4	4	no	—
48	C₄×#88322	—	4	2	no	—
49	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₄×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
65	C₂³×D₅₃	C₄²	1	4	yes	—
66	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	1	8	yes	complemented
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	C₄²	1	8	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
99	#11719921	—	2	8	no	—
100	#11719921	—	2	8	no	—
101	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
106	#11719912	—	4	16	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
145	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
146	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
147	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
148	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
149	#88322	—	2	8	no	—
150	#20524	—	53	1	no	maximal, Sylow
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₅₃	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
161	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
165	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	#518	1	4	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	4	no	—
172	Dic₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂×#407	—	53	2	no	—
174	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
175	#1753	—	53	4	no	—
176	#1753	—	53	4	no	—
177	#1749	—	53	2	no	—
178	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
179	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	#2273	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#2873	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#2973	1	2	yes	—
185	C₂×C₅₃	#2975	1	2	yes	—
186	D₅₃	—	4	4	no	—
187	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
188	C₂²×M₁₆	—	53	4	no	—
189	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
191	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#407	—	53	16	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂×#97	—	53	4	no	—
197	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
199	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
200	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
201	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₂×#95	—	53	2	no	—
203	#336	—	53	4	no	—
204	#336	—	53	2	no	—
205	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
206	C₅₃	#20524	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂⁵	—	53	1	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
212	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	212	2	no	—
214	C₂³×C₄	—	212	2	no	—
215	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×M₁₆	—	53	16	no	—
218	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
219	C₂×M₁₆	—	212	4	no	—
220	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
225	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
228	C₂×C₄²	—	212	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
234	C₂²⋊C₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
235	#97	—	212	4	no	—
236	C₄×C₈	—	4	2	no	—
237	C₄×C₈	—	212	2	no	—
238	#95	—	53	4	no	—
239	#95	—	53	4	no	—
240	C₂⁴	—	53	2	no	—
241	C₂⁴	—	53	4	no	—
242	C₂⁴	—	106	4	no	—
243	C₂⁴	—	212	1	no	—
244	C₂⁴	—	212	1	no	—
245	C₂⁴	—	212	2	no	—
246	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
261	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
267	C₂²×C₄	#11719912	1	8	yes	complemented
268	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	212	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	53	8	no	—
277	C₂×C₈	—	106	4	no	—
278	C₂×C₈	—	106	4	no	—
279	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	106	4	no	—
286	C₄²	—	212	2	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	53	4	no	—
291	C₂³	—	106	8	no	—
292	C₂³	—	106	2	no	—
293	C₂³	—	106	2	no	—
294	C₂³	—	106	4	no	—
295	C₂³	—	106	4	no	—
296	C₂³	—	212	4	no	—
297	C₂³	—	212	4	no	—
298	C₂³	—	212	8	no	—
299	C₂³	—	212	8	no	—
300	C₂³	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×#11719912	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	53	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	2	no	—
313	C₂×C₄	—	106	2	no	—
314	C₂×C₄	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	—	106	8	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂×C₄	—	106	4	no	—
319	C₂×C₄	—	212	8	no	—
320	C₂×C₄	—	212	4	no	—
321	C₂×C₄	—	212	8	no	—
322	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#11719912	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	8	no	—
329	C₈	—	106	8	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	106	4	no	—
335	C₂²	—	106	4	no	—
336	C₂²	—	106	4	no	—
337	C₂²	—	212	16	no	—
338	C₂²	—	212	4	no	—
339	C₂²	—	212	4	no	—
340	C₂²	C₄×#11719912	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16811097	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#11719912	1	2	yes	—
345	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	106	4	no	—
350	C₄	—	212	4	no	—
351	C₄	#16811095	1	4	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	212	4	no	—
354	C₂	#20277067	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×C₄×#11719912	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20283132	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#20283741	1	2	yes	—
358	C₂	#20283755	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20524
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274498	C₂	semidirect
4. #20274495	C₂	semidirect
5. #20274479	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
12. #16810585	C₄	semidirect
15. C₂×#13133127	C₂²	semidirect
16. C₂×C₄×#88322	C₂²	semidirect
21. #16810378	C₂²	semidirect
22. #16810377	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
26. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
37. C₂×#11719912	C₂×C₄	semidirect
46. #13133129	C₂×C₄	semidirect
71. C₂²×C₄×C₅₃	M₁₆	semidirect
179. C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	semidirect
198. C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	semidirect
205. #336	C₂×D₅₃	semidirect
206. C₅₃	#20524	semidirect
267. C₂²×C₄	#11719912	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810585	2
C₂×C₄×#11719921	2
#20274498	2
#20274495	2
#20274479	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#20524	53