Subgroups — #27382804

Order 13568.

1146 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810590	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20274499	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂²⋊C₄×#88322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274481	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	#16810590	C₄	1	16	yes	complemented
10	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₅₃×#391	C₄	1	2	yes	—
22	C₅₃×#390	C₄	1	2	yes	—
23	C₅₃×#386	C₄	1	4	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#11719917	—	4	2	no	—
26	C₂×#11719917	—	4	2	no	—
27	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
29	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
30	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	16	yes	—
34	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
35	#13133128	—	4	2	no	—
36	C₄×#88322	—	4	2	no	—
37	C₄×#88322	—	4	4	no	—
38	C₂×#41×C₅₃	—	4	2	no	—
39	C₂×#41×C₅₃	—	4	1	no	—
40	C₂×#41×C₅₃	—	4	1	no	—
41	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	#117×C₅₃	—	4	1	no	—
49	#117×C₅₃	—	4	1	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
61	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
65	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
70	C₂×D₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
95	#11719917	—	4	8	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	—	4	8	no	—
101	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
112	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
113	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
114	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	#88322	—	2	8	no	—
138	#88322	—	2	8	no	—
139	#20530	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
152	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
156	C₄×C₅₃	#518	1	2	yes	—
157	C₄×C₅₃	#518	1	2	yes	—
158	C₂×#408	—	53	2	no	—
159	#2297	D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	#1753	—	53	4	no	—
161	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
162	#1750	—	53	2	no	—
163	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
164	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×C₅₃	#2273	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	C₄×#131	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#2977	1	2	yes	—
169	C₂×C₅₃	#2979	1	2	yes	—
170	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
172	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
173	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	#408	—	53	16	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
178	C₂×#97	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
180	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
181	#391	Dic₅₃	1	2	yes	—
182	#390	Dic₅₃	1	2	yes	—
183	#386	Dic₅₃	1	4	yes	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
185	#336	—	53	2	no	—
186	#336	—	53	2	no	—
187	#336	—	53	4	no	—
188	C₅₃	#20530	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂×#41	—	4	2	no	—
190	C₂×#41	—	4	1	no	—
191	C₂×#41	—	4	1	no	—
192	C₂×#41	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
193	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
195	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
199	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
200	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
201	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
202	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
203	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
205	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
206	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
207	#117	—	4	1	no	—
208	#117	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
218	#97	—	212	2	no	—
219	C₄×C₈	—	212	4	no	—
220	C₄×C₈	—	212	2	no	—
221	#95	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
222	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
223	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
224	#41	—	4	8	no	—
225	#41	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×Q₈	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
234	C₂×D₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	M₁₆	—	212	8	no	—
253	C₂×C₈	—	53	8	no	—
254	C₂×C₈	—	53	8	no	—
255	C₂×C₈	—	106	4	no	—
256	C₂×C₈	—	106	4	no	—
257	C₂×C₈	—	106	4	no	—
258	C₂×C₈	—	106	4	no	—
259	C₂×C₈	—	212	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	4	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#13133224	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	106	8	no	—
302	C₈	—	106	8	no	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#16811098	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#16811098	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#13133224	1	4	yes	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	2	8	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	#16811096	1	2	yes	—
320	C₄	#16811096	1	2	yes	—
321	C₂	—	4	2	no	—
322	C₂	—	4	4	no	—
323	C₂	#20277068	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₄×#13133224	1	2	yes	—
325	C₂	#20283771	1	2	yes	—
326	C₂	#20283782	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#2297	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41×C₅₃	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2297	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20530
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2297

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20274499	C₂	semidirect
3. C₂²⋊C₄×#88322	C₂	semidirect
4. #20274481	C₂	semidirect
5. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
9. #16810590	C₄	semidirect
27. C₂×#11719917	C₂×C₄	semidirect
30. C₂²×#88322	C₂×C₄	semidirect
34. C₂²⋊#88322	C₂×C₄	semidirect
188. C₅₃	#20530	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810590	2
#20274499	2
C₂²⋊C₄×#88322	2
#20274481	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₅₃×#2297	2
#20530	53