Subgroups — #27382864

Order 13568.

886 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810681	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274589	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₈×#11719919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274483	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810681	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810521	C₄	1	2	yes	—
23	#16810521	C₄	1	2	yes	—
24	#16810496	C₄	1	4	yes	—
25	C₄×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133176	—	4	1	no	—
38	#13133176	—	4	1	no	—
39	#13133176	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133146	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	#13133146	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#13133128	—	4	1	no	—
53	#13133128	—	4	1	no	—
54	#13133127	—	4	2	no	—
55	#13133127	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₈×Dic₅₃	—	4	2	no	—
57	C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₄×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
71	C₄×C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
72	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	C₄²	1	8	yes	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	C₄²	1	4	yes	—
103	#11719919	—	2	8	no	—
104	#11719919	—	4	4	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂×#88322	—	2	2	no	—
110	C₂×#88322	—	2	2	no	—
111	C₂×#88322	—	2	2	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
144	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
146	#88322	—	2	4	no	—
147	#88322	—	2	4	no	—
148	#20541	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
164	Dic₅₃	—	2	4	no	—
165	Dic₅₃	—	2	4	no	—
166	Dic₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×#433	—	53	2	no	—
168	#2296	—	53	1	no	—
169	#1771	—	53	2	no	—
170	#1771	—	53	2	no	—
171	#1770	—	53	2	no	—
172	C₈×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
173	#1750	—	53	2	no	—
174	#1749	—	53	1	no	—
175	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₂×C₅₃	#2274	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#2875	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#2976	1	2	yes	—
181	C₂×C₅₃	#2985	1	2	yes	—
182	C₂×#117	—	53	1	no	—
183	C₂×#117	—	53	1	no	—
184	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#433	—	53	16	no	—
186	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	C₂×#97	—	53	2	no	—
191	C₂×#97	—	53	2	no	—
192	C₂×#97	—	53	1	no	—
193	C₂×#97	—	53	1	no	—
194	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#389	—	53	2	no	—
199	#389	—	53	2	no	—
200	#385	—	53	4	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
203	#336	—	53	2	no	—
204	#336	—	53	2	no	—
205	#336	—	53	2	no	—
206	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₅₃	#20541	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
211	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
212	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
214	#117	—	53	8	no	—
215	#117	—	212	1	no	—
216	#117	—	212	1	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
228	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
232	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
234	C₂²⋊C₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
235	#97	—	53	8	no	—
236	#97	—	212	1	no	—
237	#97	—	212	1	no	—
238	#97	—	212	2	no	—
239	C₄×C₈	—	4	1	no	—
240	C₄×C₈	—	4	1	no	—
241	C₄×C₈	—	53	8	no	—
242	C₄×C₈	—	212	2	no	—
243	#95	—	53	4	no	—
244	#95	—	53	4	no	—
245	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	53	4	no	—
265	C₂×C₈	—	53	4	no	—
266	C₂×C₈	—	106	2	no	—
267	C₂×C₈	—	106	2	no	—
268	C₂×C₈	—	106	2	no	—
269	C₂×C₈	—	106	2	no	—
270	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	4	2	no	—
284	C₄²	—	53	4	no	—
285	C₄²	—	53	4	no	—
286	C₄²	—	106	2	no	—
287	C₄²	—	106	2	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	53	4	no	—
305	C₂×C₄	—	53	4	no	—
306	C₂×C₄	—	106	4	no	—
307	C₂×C₄	—	106	4	no	—
308	C₂×C₄	—	106	4	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	4	no	—
311	C₂×C₄	C₄²×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	106	4	no	—
320	C₈	—	106	4	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	C₂×C₄²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#16811096	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#16811100	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
330	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	106	4	no	—
335	C₄	—	106	4	no	—
336	C₄	—	212	4	no	—
337	C₄	#16811102	1	2	yes	—
338	C₄	#16811102	1	2	yes	—
339	C₂	—	4	2	no	—
340	C₂	#20277070	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₄×#13133223	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#20283144	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20283760	1	2	yes	—
344	C₂	#20283809	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×C₂²⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20541
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274589	C₂	semidirect
4. #20274588	C₂	semidirect
5. #20274581	C₂	semidirect
6. C₈×#11719919	C₂	semidirect
12. #16810681	C₄	semidirect
49. #13133146	C₂×C₄	semidirect
50. #13133146	C₂×C₄	semidirect
55. #13133127	C₂×C₄	semidirect
57. C₈×Dic₅₃	C₂×C₄	semidirect
207. C₅₃	#20541	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810681	2
#20277198	2
#20274589	2
#20274588	2
#20274581	2
C₈×#11719919	2
#20274483	2
#20274477	2
C₄×C₂²⋊C₈×C₅₃	2
#20541	53