Subgroups — #27382887

Order 13568.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274587	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274574	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274494	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274489	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×C₅₃×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄⋊#88322	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810491	C₄	1	2	yes	—
16	#16810489	C₄	1	2	yes	—
17	#16810486	C₄	1	2	yes	—
18	#16810483	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810469	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₅₃×#432	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
30	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
31	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
38	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	#13133127	—	4	4	no	—
41	C₈×Dic₅₃	—	4	4	no	—
42	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#97×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
75	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
78	C₄²×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
79	C₄²×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
80	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
85	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
86	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×#88322	—	2	4	no	—
89	C₂×#88322	—	2	4	no	—
90	C₂×#88322	—	4	4	no	—
91	C₂×#88322	—	4	4	no	—
92	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
97	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
121	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
122	#88322	—	2	4	no	—
123	#88322	—	2	4	no	—
124	#20544	—	53	1	no	maximal, Sylow
125	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₅₃	#405	1	4	yes	—
129	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
131	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
132	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
133	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
141	Dic₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂×#432	D₅₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
144	#2283	—	53	1	no	—
145	#1771	—	53	4	no	—
146	#1768	—	53	4	no	—
147	#1752	—	53	2	no	—
148	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
149	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×C₅₃	#2274	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₅₃	#2873	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₅₃	#2992	1	4	yes	—
154	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
155	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
156	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
157	#432	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
158	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
163	C₂×#97	—	53	4	no	—
164	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
166	#383	—	53	2	no	—
167	#382	—	53	2	no	—
168	#381	—	53	2	no	—
169	#380	—	53	2	no	—
170	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
171	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
172	#376	—	53	2	no	—
173	#336	—	53	4	no	—
174	#336	—	53	4	no	—
175	C₅₃	#20544	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
176	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
180	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
181	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
182	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
183	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
184	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
185	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
196	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
197	C₄⋊C₈	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
198	C₂²⋊C₈	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
199	#97	—	212	4	no	—
200	#97	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
201	C₄×C₈	—	212	4	no	—
202	#95	—	53	4	no	—
203	#95	—	53	4	no	—
204	#95	—	53	4	no	—
205	#95	—	53	4	no	—
206	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
212	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	53	4	no	—
225	C₂×C₈	—	53	4	no	—
226	C₂×C₈	—	106	4	no	—
227	C₂×C₈	—	106	4	no	—
228	C₂×C₈	—	212	4	no	—
229	C₂×C₈	—	212	4	no	—
230	C₂×C₈	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
231	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
233	C₄²	—	106	4	no	—
234	C₄²	—	106	4	no	—
235	C₄²	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
236	C₄²	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
237	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
244	C₂³	#13133225	1	4	yes	—
245	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	106	8	no	—
257	C₂×C₄	—	106	8	no	—
258	C₂×C₄	—	106	8	no	—
259	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
268	C₈	—	2	8	no	—
269	C₈	—	106	4	no	—
270	C₈	—	106	4	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	8	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	#16810581	1	4	yes	—
275	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	#16811103	1	2	yes	—
277	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
278	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	2	2	no	—
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	212	8	no	—
285	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
286	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
287	C₄	#16811106	1	2	yes	—
288	C₂	—	2	4	no	—
289	C₂	#20277071	1	1	yes	characteristic
290	C₂	C₂×#16810581	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#20283133	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#20283856	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₂×C₅₃×#432	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#432	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20544
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#432

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274587	C₂	semidirect
4. #20274574	C₂	semidirect
10. C₂×C₄⋊#88322	C₄	semidirect
25. C₅₃×#432	C₄	semidirect
157. #432	Dic₅₃	semidirect
175. C₅₃	#20544	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊#88322	2
#20277113	2
#20274587	2
#20274574	2
#20274494	2
#20274489	2
C₂×C₅₃×#432	2
#20544	53