Subgroups — #27382906

Order 13568.

1006 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810680	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274590	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274493	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²⋊C₄×#88322	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#117×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
10	#16810680	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×C₄⋊#88322	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133128	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#117×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#376	C₄	1	2	yes	—
30	C₄³×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#88322	—	4	4	no	—
32	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	#13133128	—	4	4	no	—
42	#13133128	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₄×#88322	—	4	4	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#117×C₅₃	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₄×C₅₃	M₁₆	1	8	yes	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
91	C₄²×C₅₃	C₄²	1	4	yes	—
92	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	—	4	8	no	—
101	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
134	#88322	—	2	4	no	—
135	#88322	—	2	4	no	—
136	#88322	—	2	8	no	—
137	#20546	—	53	1	no	maximal, Sylow
138	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
142	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
145	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
146	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
152	C₄×C₅₃	#405	1	4	yes	—
153	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
156	C₂×#432	—	53	1	no	—
157	C₂²×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
158	C₄×#117	D₅₃	1	1	yes	characteristic
159	#1771	—	53	4	no	—
160	#1767	—	53	2	no	—
161	C₄×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
162	#1752	—	53	2	no	—
163	C₈×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
164	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂×C₅₃	#2274	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#2990	1	4	yes	—
169	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
170	C₂×#117	Dic₅₃	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
172	#432	—	53	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
179	C₂×#97	—	53	2	no	—
180	C₂×#97	—	53	4	no	—
181	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
183	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
185	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	#376	Dic₅₃	1	2	yes	—
188	C₄³	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
189	#336	—	53	4	no	—
190	#336	—	53	4	no	—
191	C₅₃	#20546	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
192	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
197	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
198	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
199	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
200	#117	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
216	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
217	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
219	#97	—	53	8	no	—
220	#97	—	212	4	no	—
221	C₄×C₈	—	212	4	no	—
222	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
223	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
224	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	—	53	8	no	—
243	C₂×C₈	—	53	4	no	—
244	C₂×C₈	—	53	4	no	—
245	C₂×C₈	—	106	4	no	—
246	C₂×C₈	—	106	4	no	—
247	C₂×C₈	—	106	4	no	—
248	C₂×C₈	—	106	4	no	—
249	C₂×C₈	—	212	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	#11719917	1	8	yes	—
253	C₄²	—	2	8	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
260	C₄²	C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂×#11719917	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	#13133224	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
295	C₈	—	106	4	no	—
296	C₈	—	106	4	no	—
297	C₈	—	106	8	no	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	C₄×#11719917	1	4	yes	—
302	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#16811106	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂²×#11719917	1	2	yes	—
305	C₂²	C₂×#13133224	1	2	yes	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	2	8	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	#16810579	1	4	yes	—
313	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#16811103	1	2	yes	—
316	C₂	—	2	4	no	—
317	C₂	#20277071	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×C₄×#11719917	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#16810579	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#20283840	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₄×#117×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#117	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20546
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274590	C₂	semidirect
4. #20274568	C₂	semidirect
5. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
10. #16810680	C₄	semidirect
11. C₂×C₄⋊#88322	C₄	semidirect
191. C₅₃	#20546	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810680	2
C₂²×C₄⋊#88322	2
#20274590	2
#20274568	2
C₄×C₄⋊#88322	2
#20274493	2
C₂²⋊C₄×#88322	2
C₄×#117×C₅₃	2
#20546	53