Subgroups — #27382973

Order 13568.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810684	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810650	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274499	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274493	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₅₃×#2298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810684	C₄	1	8	yes	complemented
13	#16810650	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#388	C₄	1	4	yes	—
30	C₅₃×#387	C₄	1	4	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#11719917	—	4	2	no	—
36	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
38	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
43	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₄⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²⋊#88322	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#13133128	—	4	2	no	—
48	#13133128	—	4	2	no	—
49	#13133128	—	4	2	no	—
50	#13133128	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₄×#88322	—	4	2	no	—
52	C₄×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
81	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄²	1	8	yes	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
88	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	#11719917	—	4	4	no	—
93	C₂×#88322	—	2	2	no	—
94	C₂×#88322	—	2	2	no	—
95	C₂×#88322	—	2	2	no	—
96	C₂×#88322	—	2	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	2	no	—
98	C₂×#88322	—	2	2	no	—
99	C₂×#88322	—	2	2	no	—
100	C₂×#88322	—	2	2	no	—
101	C₂×#88322	—	4	4	no	—
102	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄²	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	#88322	—	2	4	no	—
130	#88322	—	2	4	no	—
131	#88322	—	2	4	no	—
132	#88322	—	2	4	no	—
133	#20554	—	53	1	no	maximal, Sylow
134	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#520	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
140	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₄×C₅₃	#518	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	#519	1	1	yes	characteristic
147	C₄×C₅₃	#520	1	2	yes	—
148	C₂×#433	—	53	1	no	—
149	C₂×#424	—	53	1	no	—
150	#2298	D₅₃	1	1	yes	characteristic
151	#1771	—	53	2	no	—
152	#1770	—	53	2	no	—
153	#1768	—	53	2	no	—
154	#1767	—	53	2	no	—
155	#1753	—	53	2	no	—
156	#1752	—	53	2	no	—
157	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×C₅₃	#2274	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	#2875	1	2	yes	—
160	C₂×C₅₃	#2995	1	4	yes	—
161	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
162	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
163	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	#433	—	53	8	no	—
165	#424	—	53	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
170	C₂×#97	—	53	1	no	—
171	C₂×#97	—	53	2	no	—
172	C₂×#97	—	53	2	no	—
173	C₂×#97	—	53	2	no	—
174	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
175	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
176	#388	Dic₅₃	1	4	yes	—
177	#387	Dic₅₃	1	4	yes	—
178	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
179	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	#336	—	53	2	no	—
183	#336	—	53	2	no	—
184	#336	—	53	2	no	—
185	#336	—	53	2	no	—
186	C₅₃	#20554	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
189	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
190	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
192	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
193	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
194	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
195	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
196	#117	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
197	#117	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
208	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
209	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
210	C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
211	#97	—	53	4	no	—
212	#97	—	212	2	no	—
213	#97	—	212	2	no	—
214	#97	—	212	2	no	—
215	C₄×C₈	—	53	4	no	—
216	C₄×C₈	—	212	2	no	—
217	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
218	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
219	#95	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
220	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	M₁₆	—	212	4	no	—
232	C₂×C₈	—	53	4	no	—
233	C₂×C₈	—	53	4	no	—
234	C₂×C₈	—	53	4	no	—
235	C₂×C₈	—	53	4	no	—
236	C₂×C₈	—	106	2	no	—
237	C₂×C₈	—	106	2	no	—
238	C₂×C₈	—	106	2	no	—
239	C₂×C₈	—	106	2	no	—
240	C₂×C₈	—	106	2	no	—
241	C₂×C₈	—	106	2	no	—
242	C₂×C₈	—	106	2	no	—
243	C₂×C₈	—	106	2	no	—
244	C₂×C₈	—	212	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	C₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	4	4	no	—
254	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×C₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
281	C₈	—	106	4	no	—
282	C₈	—	106	4	no	—
283	C₈	—	106	4	no	—
284	C₈	—	106	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	C₂²×C₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#16811106	1	2	yes	—
290	C₂²	#16811390	1	4	yes	—
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	4	4	no	—
296	C₄	#16811097	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#16811100	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#16811103	1	2	yes	—
299	C₂	—	4	2	no	—
300	C₂	#20277071	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#20283143	1	2	yes	—
302	C₂	#20283885	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄²
Fitting	C₅₃×#2298	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2298	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20554
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2298

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274590	C₂	semidirect
4. #20274584	C₂	semidirect
5. #20274572	C₂	semidirect
6. #20274568	C₂	semidirect
12. #16810684	C₄	semidirect
13. #16810650	C₄	semidirect
186. C₅₃	#20554	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810684	2
C₂×#16810650	2
#20274590	2
#20274584	2
#20274572	2
#20274568	2
#20274499	2
#20274493	2
C₅₃×#2298	2
#20554	53