Subgroups — #27383301

Order 13568.

3838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810633	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20277098	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20274651	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₅₃×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
7	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
8	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
9	C₂³×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂⁴×Dic₅₃	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810633	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133142	C₂²	1	16	yes	complemented
17	#16810486	—	2	1	no	—
18	#16810483	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810479	—	2	1	no	—
20	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
21	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#407	—	2	4	no	—
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
26	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	16	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×Dic₅₃	—	2	16	no	—
42	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
43	C₂³×Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133176	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133142	—	2	32	no	—
51	#13133124	—	2	4	no	—
52	C₂⁵×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	32	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	64	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	128	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	32	yes	complemented
104	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
106	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₅₃	#120	1	4	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#137	1	8	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×Dic₅₃	—	2	64	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	32	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
143	Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
144	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
145	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
147	Dic₁₀₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
148	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
149	#20599	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	32	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	#379	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#419	1	8	yes	complemented
158	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	4	yes	—
161	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₄×C₅₃	#379	1	4	yes	—
163	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	2	yes	—
165	Dic₅₃	—	2	16	no	—
166	Dic₅₃	—	8	4	no	—
167	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
168	C₂×#419	—	53	4	no	—
169	C₂×#407	D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	#2280	—	53	1	no	—
171	#1787	—	53	8	no	—
172	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
174	C₂×C₅₃	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₂×#419	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3004	1	4	yes	—
177	C₂³×Q₈	—	53	8	no	—
178	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
179	C₂³×Q₈	—	53	4	no	—
180	C₂³×Q₈	—	106	16	no	—
181	C₂³×Q₈	—	106	2	no	—
182	C₂³×Q₈	—	106	1	no	—
183	C₂³×Q₈	—	106	4	no	—
184	C₂⁴×C₄	—	106	1	no	—
185	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₂×#117	—	53	2	no	—
188	#419	—	106	16	no	—
189	C₂×#103	—	53	16	no	—
190	#407	—	2	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
192	#381	—	106	1	no	—
193	#380	—	53	4	no	—
194	#379	—	106	1	no	—
195	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
196	C₅₃	#20599	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂⁵	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
199	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
200	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
201	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
202	C₂²×Q₈	—	106	64	no	—
203	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
204	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	64	no	—
206	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
207	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
208	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
209	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
210	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
211	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
213	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
214	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
216	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
217	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
219	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
220	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
221	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
222	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
223	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
226	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
228	#117	—	106	8	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
231	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
232	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
233	#103	—	106	32	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
235	#95	—	106	4	no	—
236	C₂⁴	—	2	4	no	—
237	C₂⁴	—	2	8	no	—
238	C₂⁴	#11719921	1	4	yes	—
239	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
240	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
241	C₂×Q₈	—	53	32	no	—
242	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
243	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
244	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
245	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	128	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
250	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
251	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	64	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	M₁₆	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
284	C₄²	—	212	4	no	—
285	C₂³	—	2	32	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	16	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	C₂×#11719921	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
293	C₂³	#13133187	1	4	yes	—
294	C₂³	#13133250	1	8	yes	—
295	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	53	16	no	—
297	Q₈	—	106	64	no	—
298	Q₈	—	106	8	no	—
299	Q₈	—	106	16	no	—
300	Q₈	—	106	32	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	106	64	no	—
307	C₂×C₄	—	106	8	no	—
308	C₂×C₄	—	106	16	no	—
309	C₂×C₄	—	106	32	no	—
310	C₂×C₄	—	212	4	no	—
311	C₂×C₄	—	212	8	no	—
312	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133185	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	2	32	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	—	2	16	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	#16810478	1	4	yes	—
328	C₂²	#16810633	1	8	yes	complemented
329	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#13133187	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#13133250	1	4	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	106	16	no	—
334	C₄	—	424	4	no	—
335	C₄	#16810478	1	4	yes	—
336	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
337	C₄	C₂×#13133185	1	2	yes	—
338	C₂	—	2	8	no	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	C₂×#16810478	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂×#16810633	1	2	yes	—
342	C₂	#20283952	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#407	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁵×C₅₃	D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#407	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20599
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂×#407

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810633	C₂	semidirect
4. #20274651	C₂	semidirect
10. C₂³×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
16. C₂×#13133142	C₂²	semidirect
103. C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	semidirect
157. C₂²×C₅₃	#419	semidirect
196. C₅₃	#20599	semidirect
328. C₂²	#16810633	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×Dic₁₀₆	2
C₂×#16810633	2
#20277098	2
#20274651	2
C₂×C₅₃×#407	2
#20599	53