Subgroups — #27383458

Order 13568.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810586	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274696	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₅₃×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133174	—	2	4	no	—
10	C₂×#13133174	—	2	4	no	—
11	C₂×#13133174	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×#13133174	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810647	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#16810586	—	2	8	no	—
19	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810377	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#423	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
40	#13133174	—	2	16	no	—
41	#13133174	—	2	8	no	—
42	#13133174	—	2	8	no	—
43	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
46	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
52	#13133129	—	2	16	no	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
69	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
99	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	#11719921	—	2	16	no	—
109	#11719919	—	2	16	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	#11719917	—	4	8	no	—
114	C₂×#88322	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	4	no	—
116	C₂×#88322	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
154	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
155	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
158	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
159	#88322	—	4	4	no	—
160	#20627	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	#380	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
169	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
170	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
175	C₄×C₅₃	#380	1	4	yes	—
176	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
180	Dic₅₃	—	2	4	no	—
181	Dic₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂²×#117	—	53	1	no	—
183	C₂×#423	—	53	1	no	—
184	C₂×#423	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	C₂×#407	—	53	2	no	—
186	#1798	—	53	8	no	—
187	#1728	—	53	2	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₂×C₅₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
191	C₂×C₅₃	#2905	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
193	D₅₃	—	4	4	no	—
194	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
195	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
196	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂×#117	—	53	4	no	—
198	C₂×#117	—	53	4	no	—
199	C₂×#117	—	106	4	no	—
200	C₂×#117	—	106	4	no	—
201	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
203	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
204	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	#423	—	2	4	no	—
206	#423	—	106	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
209	#407	—	106	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
211	#336	—	53	8	no	—
212	C₅₃	#20627	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂⁵	—	53	1	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
216	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
217	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
218	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
219	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
222	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
223	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
224	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
227	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
234	#117	—	106	8	no	—
235	#117	—	106	8	no	—
236	#117	—	106	16	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
241	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
247	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
248	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
251	C₂²⋊C₈	—	106	16	no	—
252	C₂⁴	—	53	2	no	—
253	C₂⁴	—	53	4	no	—
254	C₂⁴	—	106	2	no	—
255	C₂⁴	—	106	2	no	—
256	C₂⁴	—	212	4	no	—
257	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
279	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	M₁₆	—	4	8	no	—
290	M₁₆	—	212	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	106	4	no	—
295	C₂×C₈	—	106	4	no	—
296	C₂×C₈	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
299	C₄²	—	106	4	no	—
300	C₄²	—	106	2	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₄²	#11719921	1	8	yes	—
303	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	53	4	no	—
307	C₂³	—	106	2	no	—
308	C₂³	—	106	2	no	—
309	C₂³	—	106	8	no	—
310	C₂³	—	106	8	no	—
311	C₂³	—	212	8	no	—
312	C₂³	—	212	8	no	—
313	C₂³	—	212	8	no	—
314	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
315	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	53	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	2	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	8	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	106	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	4	no	—
327	C₂×C₄	—	106	4	no	—
328	C₂×C₄	—	106	16	no	—
329	C₂×C₄	—	106	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	8	no	—
331	C₂×C₄	—	212	8	no	—
332	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#13133188	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	4	4	no	—
347	C₈	—	212	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	106	4	no	—
352	C₂²	—	106	8	no	—
353	C₂²	—	212	16	no	—
354	C₂²	—	212	4	no	—
355	C₂²	—	212	4	no	—
356	C₂²	#16810480	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	106	4	no	—
363	C₄	—	212	4	no	—
364	C₄	#16810480	1	4	yes	—
365	C₄	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
366	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
367	C₄	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
368	C₄	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	—	212	4	no	—
371	C₂	C₂×#16810480	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20283159	1	2	yes	—
373	C₂	#20283277	1	2	yes	—
374	C₂	#20283352	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#423	C₂
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#423	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20627
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#423

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810647	C₂	semidirect
4. #20274696	C₂	semidirect
5. #20274408	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#423	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
20. #16810377	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
184. C₂×#423	D₅₃	semidirect
208. C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#20627	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133174	2
C₂×#16810647	2
C₂×#16810586	2
#20274696	2
#20274408	2
C₂×C₅₃×#423	2
#20627	53