Subgroups — #27383460

Order 13568.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810586	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274698	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133174	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133174	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#13133174	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810646	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133146	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#16810586	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
27	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133174	—	2	16	no	—
37	#13133174	—	2	16	no	—
38	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
39	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
41	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133146	—	2	16	no	—
46	#13133129	—	2	16	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
60	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
61	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
75	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
87	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
93	#11719921	—	2	16	no	—
94	#11719919	—	2	16	no	—
95	C₄×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
96	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	#11719917	—	4	8	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
131	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
134	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
135	C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
136	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
137	#88322	—	4	4	no	—
138	#20627	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₅₃	#380	1	4	yes	—
143	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
147	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
148	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
153	C₄×C₅₃	#380	1	4	yes	—
154	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
156	Dic₅₃	—	2	8	no	—
157	Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂²×#117	—	53	1	no	—
159	C₂×#423	—	53	2	no	—
160	C₂×#407	—	53	2	no	—
161	#1798	—	53	8	no	—
162	#1728	—	53	1	no	—
163	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
164	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂×C₅₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
167	C₂×C₅₃	#2905	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
169	D₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
171	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
172	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₂×#117	—	53	4	no	—
174	C₂×#117	—	53	4	no	—
175	C₂×#117	—	106	8	no	—
176	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
177	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
178	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
179	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#423	—	106	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
182	#407	—	106	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
184	#336	—	53	4	no	—
185	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
186	C₅₃	#20627	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂⁵	—	53	1	no	—
188	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
189	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
190	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
191	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
192	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
193	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
194	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
195	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
196	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
199	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
200	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
202	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
203	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
204	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
205	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
206	#117	—	106	16	no	—
207	#117	—	106	16	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
215	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
216	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	—	106	16	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	106	16	no	—
220	C₂⁴	—	53	2	no	—
221	C₂⁴	—	53	4	no	—
222	C₂⁴	—	106	2	no	—
223	C₂⁴	—	106	2	no	—
224	C₂⁴	—	212	4	no	—
225	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	M₁₆	—	4	8	no	—
252	M₁₆	—	212	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	106	4	no	—
257	C₂×C₈	—	106	4	no	—
258	C₂×C₈	—	106	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	53	8	no	—
264	C₄²	—	53	8	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	53	4	no	—
267	C₂³	—	106	2	no	—
268	C₂³	—	106	2	no	—
269	C₂³	—	106	8	no	—
270	C₂³	—	106	8	no	—
271	C₂³	—	212	8	no	—
272	C₂³	—	212	8	no	—
273	C₂³	—	212	8	no	—
274	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	53	8	no	—
282	C₂×C₄	—	53	4	no	—
283	C₂×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂×C₄	—	106	2	no	—
285	C₂×C₄	—	106	8	no	—
286	C₂×C₄	—	106	8	no	—
287	C₂×C₄	—	106	8	no	—
288	C₂×C₄	—	106	8	no	—
289	C₂×C₄	—	106	16	no	—
290	C₂×C₄	—	212	8	no	—
291	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#13133190	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
300	C₈	—	4	4	no	—
301	C₈	—	212	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	106	4	no	—
306	C₂²	—	106	8	no	—
307	C₂²	—	212	16	no	—
308	C₂²	—	212	4	no	—
309	C₂²	—	212	4	no	—
310	C₂²	#16810482	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	106	8	no	—
317	C₄	—	106	4	no	—
318	C₄	#16810482	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×#13133190	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	4	no	—
322	C₂	—	212	4	no	—
323	C₂	C₂×#16810482	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20283158	1	2	yes	—
325	C₂	#20283277	1	2	yes	—
326	C₂	#20283351	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20627
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810646	C₂	semidirect
4. #20274698	C₂	semidirect
5. #20274409	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
16. C₂×#13133146	C₂²	semidirect
19. #16810378	C₂²	semidirect
22. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
163. #1728	D₅₃	semidirect
185. #336	C₂×D₅₃	semidirect
186. C₅₃	#20627	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133174	2
C₂×#16810646	2
C₂×#16810586	2
#20274698	2
#20274409	2
C₅₃×#1728	2
#20627	53