Subgroups — #27383701

Order 13568.

1438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133223	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810666	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277303	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274747	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274743	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274739	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16810386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133223	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133223	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719912	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810666	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810529	—	2	2	no	—
20	#16810525	—	2	2	no	—
21	#16810500	—	2	4	no	—
22	#16810480	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810480	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
33	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×#11719945	Q₈	1	4	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	D₄	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	#13133223	—	2	32	no	—
41	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×#11719917	D₄	1	8	yes	—
43	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₈×D₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
53	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
54	#13133150	—	2	8	no	—
55	#13133148	—	2	8	no	—
56	#13133124	—	2	4	no	—
57	#13133124	—	2	4	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	8	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	8	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	#11719945	—	2	8	no	—
87	#11719945	—	2	8	no	—
88	#11719945	—	2	16	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
108	#11719921	—	8	4	no	—
109	#11719921	—	8	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	#11719917	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
114	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	#11719912	—	2	16	no	—
117	C₈×D₅₃	—	2	16	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	2	16	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	8	8	no	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	D₂₁₂	—	2	8	no	—
152	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
154	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
155	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
158	#88322	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
159	#20664	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	#380	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
170	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#380	1	4	yes	—
178	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
181	Dic₅₃	—	2	4	no	—
182	Dic₅₃	—	8	4	no	—
183	C₂²×#131	—	53	1	no	—
184	C₂×#428	—	53	2	no	—
185	#2311	—	53	2	no	—
186	#1809	—	53	4	no	—
187	#1808	—	53	2	no	—
188	#1807	—	53	2	no	—
189	#1735	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
190	C₂×#340	—	53	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
192	C₂×C₅₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#2912	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#2913	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3062	1	2	yes	—
196	C₂×C₅₃	#3063	1	2	yes	—
197	D₅₃	—	4	4	no	—
198	C₂²×#41	—	53	1	no	—
199	C₂×#131	—	53	8	no	—
200	C₂×#131	—	106	8	no	—
201	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
202	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
203	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
204	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
207	#428	—	106	8	no	—
208	C₂×#107	—	53	4	no	—
209	C₂×#106	—	53	4	no	—
210	#391	—	106	2	no	—
211	#390	—	106	2	no	—
212	#386	—	106	4	no	—
213	#380	—	53	4	no	—
214	#380	—	53	4	no	—
215	#340	—	53	2	no	—
216	#340	—	53	2	no	—
217	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#340	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₅₃	#20664	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂×#41	—	53	4	no	—
222	C₂×#41	—	53	4	no	—
223	C₂×#41	—	106	4	no	—
224	C₂×#41	—	106	4	no	—
225	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
229	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#131	—	106	32	no	—
232	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
233	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
234	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
235	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
236	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
239	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
240	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
241	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	#117	—	2	4	no	—
244	#117	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
255	#107	—	106	8	no	—
256	#106	—	106	8	no	—
257	#95	—	106	4	no	—
258	#95	—	106	4	no	—
259	C₂⁴	—	53	2	no	—
260	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	#41	—	106	8	no	—
262	#41	—	106	8	no	—
263	#41	—	106	16	no	—
264	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
266	C₂×D₄	—	53	8	no	—
267	C₂×D₄	—	53	4	no	—
268	C₂×D₄	—	106	8	no	—
269	C₂×D₄	—	106	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
281	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	53	16	no	—
288	M₁₆	—	106	16	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	53	4	no	—
293	C₂×C₈	—	53	8	no	—
294	C₂×C₈	—	106	16	no	—
295	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
307	C₄²	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	53	4	no	—
312	C₂³	—	106	4	no	—
313	C₂³	—	106	2	no	—
314	C₂³	—	106	4	no	—
315	C₂³	—	106	2	no	—
316	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂³	#13133190	1	4	yes	—
318	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	106	8	no	—
320	D₄	—	106	16	no	—
321	D₄	—	106	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	53	4	no	—
329	C₂×C₄	—	106	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	4	no	—
331	C₂×C₄	—	106	4	no	—
332	C₂×C₄	—	106	8	no	—
333	C₂×C₄	—	424	8	no	—
334	C₂×C₄	—	212	4	no	—
335	C₂×C₄	—	212	4	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#13133174	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#13133190	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#13133195	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	53	8	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	106	4	no	—
354	C₂²	—	106	4	no	—
355	C₂²	—	106	4	no	—
356	C₂²	—	212	4	no	—
357	C₂²	—	212	4	no	—
358	C₂²	#16810482	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133190	1	2	yes	—
361	C₂²	#16811425	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#16811430	1	2	yes	—
363	C₂²	#16811437	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	8	2	no	—
365	C₄	—	8	2	no	—
366	C₄	—	106	4	no	—
367	C₄	—	424	4	no	—
368	C₄	#16810482	1	4	yes	—
369	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×#13133195	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	4	no	—
373	C₂	—	212	4	no	—
374	C₂	C₂×#16810482	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20283307	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20283312	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20284398	1	2	yes	—
378	C₂	#20284409	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1735	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1735	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20664
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1735

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810666	C₂	semidirect
4. #20274747	C₂	semidirect
5. #20274743	C₂	semidirect
6. #20274739	C₂	semidirect
7. C₂×#16810386	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1735	C₂	semidirect
11. C₂×#13133223	C₄	semidirect
44. C₂×#11719912	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	semidirect
113. #11719917	C₂²⋊C₄	semidirect
189. #1735	D₅₃	semidirect
220. C₅₃	#20664	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133223	2
C₂×#16810666	2
#20277303	2
#20274747	2
#20274743	2
#20274739	2
C₂×#16810386	2
C₅₃×#1735	2
#20664	53