Subgroups — #27383716

Order 13568.

1438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×M₁₆×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810671	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810586	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274756	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274752	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719912	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×M₁₆×D₅₃	—	2	8	no	—
13	C₂×M₁₆×D₅₃	C₄	1	8	yes	—
14	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810671	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133152	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#16810586	—	2	4	no	—
18	#16810586	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810586	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#13133129	—	2	4	no	—
21	#16810388	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#341	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂⁴×D₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×Dic₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	4	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×D₅₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719917	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#11719917	D₄	1	8	yes	—
40	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
42	C₂×#11719912	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	M₁₆×D₅₃	—	2	32	no	—
44	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₈×D₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂×C₈×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#13133152	—	2	16	no	—
49	#13133129	—	2	8	no	—
50	#13133129	—	2	8	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂³×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
64	C₂³×D₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×D₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
95	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	#11719917	—	2	4	no	—
101	#11719917	—	2	4	no	—
102	#11719917	—	4	4	no	—
103	#11719917	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂×#88322	—	4	4	no	—
106	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	#11719912	—	2	16	no	—
109	C₈×D₅₃	—	2	16	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
122	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×D₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
141	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
142	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
144	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
145	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
146	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
147	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
149	#88322	—	4	4	no	—
150	#88322	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
151	#20667	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	#380	1	4	yes	—
156	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
159	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
164	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
165	C₂×D₅₃	#430	1	4	yes	complemented
166	C₄×C₅₃	#380	1	4	yes	—
167	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	2	2	no	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	C₂³×M₁₆	—	53	1	no	—
173	C₂×#430	—	53	2	no	—
174	C₂×#407	—	53	2	no	—
175	#1811	—	53	4	no	—
176	#1810	—	53	4	no	—
177	#1738	—	53	1	no	—
178	#1738	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	C₂×#430	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	2	4	no	—
184	D₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
186	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
187	C₂²×M₁₆	—	53	8	no	—
188	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
189	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
190	C₂²×M₁₆	—	106	8	no	—
191	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
194	#430	—	106	8	no	—
195	C₂×#108	—	53	8	no	—
196	#407	—	53	4	no	—
197	#407	—	53	4	no	—
198	#407	—	106	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
200	#341	—	53	4	no	—
201	#341	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
202	C₅₃	#20667	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂⁵	—	53	1	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
208	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
209	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
211	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
212	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
213	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
215	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
216	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
217	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
218	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
219	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
220	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
221	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
223	C₂×M₁₆	—	106	32	no	—
224	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
226	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
227	C₂×M₁₆	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
228	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
232	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
233	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
235	#108	—	106	16	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
237	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
238	C₂⁴	—	53	1	no	—
239	C₂⁴	—	53	4	no	—
240	C₂⁴	—	53	1	no	—
241	C₂⁴	—	106	4	no	—
242	C₂⁴	—	212	4	no	—
243	C₂⁴	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	M₁₆	—	2	8	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	53	16	no	—
275	M₁₆	—	106	16	no	—
276	M₁₆	—	106	4	no	—
277	M₁₆	—	106	4	no	—
278	M₁₆	—	212	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	53	4	no	—
283	C₂×C₈	—	53	8	no	—
284	C₂×C₈	—	106	16	no	—
285	C₂×C₈	—	106	4	no	—
286	C₂×C₈	—	212	4	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	53	2	no	—
290	C₂³	—	53	2	no	—
291	C₂³	—	106	4	no	—
292	C₂³	—	106	8	no	—
293	C₂³	—	106	2	no	—
294	C₂³	—	106	2	no	—
295	C₂³	—	106	8	no	—
296	C₂³	—	212	4	no	—
297	C₂³	—	212	2	no	—
298	C₂³	—	212	16	no	—
299	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂³	#13133195	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	—	53	2	no	—
303	C₂×C₄	—	53	2	no	—
304	C₂×C₄	—	106	2	no	—
305	C₂×C₄	—	106	2	no	—
306	C₂×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	2	no	—
308	C₂×C₄	—	106	2	no	—
309	C₂×C₄	—	106	2	no	—
310	C₂×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	106	8	no	—
314	C₂×C₄	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#13133174	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#13133190	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133190	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
325	C₈	—	2	4	no	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	53	8	no	—
328	C₈	—	212	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	53	4	no	—
333	C₂²	—	106	8	no	—
334	C₂²	—	106	2	no	—
335	C₂²	—	106	2	no	—
336	C₂²	—	106	2	no	—
337	C₂²	—	106	4	no	—
338	C₂²	—	212	16	no	—
339	C₂²	—	212	4	no	—
340	C₂²	#16810482	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#13133195	1	2	yes	—
343	C₄	—	106	2	no	—
344	C₄	—	106	2	no	—
345	C₄	#16810482	1	4	yes	—
346	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂×#13133190	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	106	4	no	—
352	C₂	—	212	2	no	—
353	C₂	C₂×#16810482	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#430×D₅₃	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1738	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴×D₅₃	Q₈
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1738	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20667
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ #1738

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810671	C₂	semidirect
4. #20274756	C₂	semidirect
5. #20274752	C₂	semidirect
6. #20274442	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1738	C₂	semidirect
16. C₂×#13133152	C₂²	semidirect
21. #16810388	C₂²	semidirect
24. C₅₃×#341	C₂²	semidirect
165. C₂×D₅₃	#430	semidirect
178. #1738	D₅₃	semidirect
201. #341	C₂×D₅₃	semidirect
202. C₅₃	#20667	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×M₁₆×D₅₃	2
C₂×#16810671	2
C₂×#16810586	2
#20274756	2
#20274752	2
#20274442	2
C₅₃×#1738	2
#20667	53