Subgroups — #27383804

Order 13568.

1446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810586	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20274785	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20274408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133174	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133174	C₄	1	4	yes	—
11	C₂×#13133174	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719919	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810586	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
17	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#16810377	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
26	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	8	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
33	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133174	—	2	16	no	—
36	#13133174	—	2	16	no	—
37	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
38	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
40	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	#13133129	—	2	16	no	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
58	C₂³×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
59	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
84	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
85	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
91	#11719921	—	2	16	no	—
92	#11719919	—	2	16	no	—
93	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	#11719917	—	4	8	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
102	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
132	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
133	C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
134	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
135	#88322	—	4	4	no	—
136	#20683	—	53	1	no	maximal, Sylow
137	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	#381	1	4	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	#568	1	4	yes	—
145	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
150	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
151	C₄×C₅₃	#381	1	4	yes	—
152	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
153	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
154	Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂²×#117	—	53	1	no	—
157	C₂×#407	—	53	2	no	—
158	#1818	—	53	8	no	—
159	#1728	—	53	1	no	—
160	#1728	—	53	2	no	—
161	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
162	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂×C₅₃	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	#2879	1	2	yes	—
165	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
166	C₂×C₅₃	#2921	1	2	yes	—
167	D₅₃	—	4	4	no	—
168	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
169	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
170	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
171	C₂×#117	—	53	4	no	—
172	C₂×#117	—	53	4	no	—
173	C₂×#117	—	106	8	no	—
174	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
175	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
176	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
177	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
178	#407	—	106	8	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
180	#336	—	53	8	no	—
181	#336	—	53	4	no	—
182	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
183	C₅₃	#20683	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
184	C₂⁵	—	53	1	no	—
185	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
186	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
187	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
188	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
189	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
190	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
191	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
192	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
193	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
196	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
197	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
198	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
199	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
200	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
201	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
202	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
203	#117	—	106	16	no	—
204	#117	—	106	16	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
213	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂²⋊C₈	—	106	16	no	—
216	C₂⁴	—	53	2	no	—
217	C₂⁴	—	53	4	no	—
218	C₂⁴	—	106	2	no	—
219	C₂⁴	—	106	2	no	—
220	C₂⁴	—	212	4	no	—
221	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	4	8	no	—
248	M₁₆	—	212	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	106	4	no	—
253	C₂×C₈	—	106	4	no	—
254	C₂×C₈	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	106	4	no	—
260	C₄²	—	106	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	53	4	no	—
263	C₂³	—	106	2	no	—
264	C₂³	—	106	2	no	—
265	C₂³	—	106	8	no	—
266	C₂³	—	106	8	no	—
267	C₂³	—	212	8	no	—
268	C₂³	—	212	8	no	—
269	C₂³	—	212	8	no	—
270	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
272	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	53	4	no	—
278	C₂×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂×C₄	—	106	2	no	—
280	C₂×C₄	—	106	8	no	—
281	C₂×C₄	—	106	8	no	—
282	C₂×C₄	—	106	8	no	—
283	C₂×C₄	—	106	16	no	—
284	C₂×C₄	—	106	4	no	—
285	C₂×C₄	—	106	8	no	—
286	C₂×C₄	—	212	8	no	—
287	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#13133199	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#13133202	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
296	C₈	—	4	4	no	—
297	C₈	—	212	4	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	106	8	no	—
302	C₂²	—	106	4	no	—
303	C₂²	—	212	16	no	—
304	C₂²	—	212	4	no	—
305	C₂²	—	212	4	no	—
306	C₂²	#16810485	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#16811389	1	4	yes	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	106	4	no	—
313	C₄	—	212	4	no	—
314	C₄	#16810485	1	4	yes	—
315	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
316	C₄	C₂×#13133202	1	2	yes	—
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	—	212	4	no	—
319	C₂	C₂×#16810485	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#20283158	1	2	yes	—
321	C₂	#20283351	1	2	yes	—
322	C₂	#20283352	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20683
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274785	C₂	semidirect
4. #20274409	C₂	semidirect
5. #20274408	C₂	semidirect
6. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
17. #16810378	C₂²	semidirect
18. #16810377	C₂²	semidirect
21. C₅₃×#336	C₂²	semidirect
161. #1728	D₅₃	semidirect
182. #336	C₂×D₅₃	semidirect
183. C₅₃	#20683	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133174	2
C₂×#16810586	2
#20274785	2
#20274409	2
#20274408	2
C₅₃×#1728	2
#20683	53