Subgroups — #27383812

Order 13568.

1402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#11719945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810591	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20274785	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274782	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
10	C₄×#11719945	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133174	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810591	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133129	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
27	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
28	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
29	C₂×#11719945	D₄	1	8	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
36	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
37	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
40	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
41	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	16	no	—
42	#13133176	—	2	4	no	—
43	#13133174	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₄²×D₅₃	—	2	8	no	—
51	#13133129	—	2	16	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	#11719945	—	2	16	no	—
81	#11719945	—	2	16	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	#11719921	—	2	8	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	#11719919	—	2	8	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	4	8	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	8	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊D₅₃	—	2	16	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	D₂₁₂	—	2	8	no	—
147	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
148	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
149	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
151	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
152	#88322	—	4	4	no	—
153	#20684	—	53	1	no	maximal, Sylow
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₅₃	#381	1	4	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
164	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
165	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	#381	1	4	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	2	yes	—
174	Dic₅₃	—	2	4	no	—
175	Dic₅₃	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄×#41	—	53	1	no	—
177	C₂×#408	—	53	2	no	—
178	#1818	—	53	4	no	—
179	#1817	—	53	4	no	—
180	#1729	—	53	2	no	—
181	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
182	C₂×#336	—	53	1	no	—
183	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
184	C₂×C₅₃	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#2880	1	2	yes	—
186	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#2923	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2925	1	2	yes	—
189	D₅₃	—	4	4	no	—
190	C₂²×#41	—	53	1	no	—
191	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
193	C₄×#41	—	106	8	no	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
196	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
197	C₂×#117	—	53	1	no	—
198	C₂×#117	—	53	2	no	—
199	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
200	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#408	—	106	8	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	8	no	—
203	#336	—	53	8	no	—
204	#336	—	53	2	no	—
205	#336	—	53	2	no	—
206	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₅₃	#20684	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂×#41	—	53	8	no	—
210	C₂×#41	—	106	4	no	—
211	C₂×#41	—	106	2	no	—
212	C₂×#41	—	106	2	no	—
213	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
214	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
215	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
216	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
217	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
218	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
221	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
224	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
225	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
226	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
228	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
229	C₄×D₄	—	106	8	no	—
230	C₄×D₄	—	106	16	no	—
231	#117	—	106	8	no	—
232	#117	—	106	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
237	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
239	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄²	—	106	8	no	—
241	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²⋊C₈	—	106	16	no	—
245	C₂⁴	—	53	2	no	—
246	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	#41	—	106	16	no	—
248	#41	—	106	16	no	—
249	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
252	C₂×D₄	—	53	8	no	—
253	C₂×D₄	—	53	4	no	—
254	C₂×D₄	—	106	4	no	—
255	C₂×D₄	—	106	4	no	—
256	C₂×D₄	—	106	2	no	—
257	C₂×D₄	—	106	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	M₁₆	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	106	4	no	—
283	C₂×C₈	—	106	4	no	—
284	C₂×C₈	—	106	4	no	—
285	C₂×C₈	—	212	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	106	8	no	—
294	C₄²	—	106	4	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	53	4	no	—
298	C₂³	—	106	2	no	—
299	C₂³	—	106	2	no	—
300	C₂³	—	106	4	no	—
301	C₂³	—	106	4	no	—
302	C₂³	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
304	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	106	8	no	—
307	D₄	—	106	16	no	—
308	D₄	—	106	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	53	4	no	—
316	C₂×C₄	—	106	2	no	—
317	C₂×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂×C₄	—	106	8	no	—
319	C₂×C₄	—	106	8	no	—
320	C₂×C₄	—	106	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	—	212	16	no	—
324	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#13133199	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	#13133202	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	212	4	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	106	8	no	—
341	C₂²	—	106	4	no	—
342	C₂²	—	212	2	no	—
343	C₂²	—	212	2	no	—
344	C₂²	—	212	4	no	—
345	C₂²	#16810485	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
350	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	106	4	no	—
354	C₄	—	212	4	no	—
355	C₄	#16810485	1	4	yes	—
356	C₄	C₂×#13133199	1	2	yes	—
357	C₄	C₂×#13133202	1	2	yes	—
358	C₂	—	2	4	no	—
359	C₂	—	212	4	no	—
360	C₂	C₂×#16810485	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20283165	1	2	yes	—
362	C₂	#20283360	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20283367	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283383	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
prime radical	C₂²×#11719945	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20684
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20274785	C₂	semidirect
4. #20274782	C₂	semidirect
5. #20274413	C₂	semidirect
6. C₂×#16810378	C₂	semidirect
7. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
181. #1728	D₅₃	semidirect
208. C₅₃	#20684	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#11719945	2
C₂×#16810591	2
#20274785	2
#20274782	2
#20274413	2
C₂×#16810378	2
C₅₃×#1728	2
#20684	53