Subgroups — #27384158

Order 13568.

1306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20274806	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274731	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274651	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274546	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#11719919	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
18	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810491	—	2	1	no	—
20	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810486	—	2	1	no	—
22	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
25	#16810469	—	2	1	no	—
26	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#432	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
41	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
42	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
43	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719919	—	2	8	no	—
51	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
58	#13133142	—	2	16	no	—
59	#13133124	—	2	2	no	—
60	#13133124	—	2	2	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	#13133124	—	2	2	no	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
75	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	8	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	#11719919	—	2	8	no	—
119	#11719919	—	2	8	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
155	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
156	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
157	Dic₁₀₆	#117	1	8	yes	—
158	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
159	#20741	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	#419	1	4	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	2	yes	—
174	C₄×C₅₃	#525	1	2	yes	—
175	Dic₅₃	—	2	8	no	—
176	Dic₅₃	—	4	4	no	—
177	Dic₅₃	—	8	4	no	—
178	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×#432	D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#2283	—	53	1	no	—
181	#1824	—	53	2	no	—
182	#1805	—	53	4	no	—
183	#1787	—	53	2	no	—
184	#1763	—	53	4	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂×C₅₃	#2280	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2896	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3117	1	4	yes	—
190	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
191	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
192	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
193	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
195	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	106	4	no	—
197	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
198	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
199	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
200	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#432	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×#103	—	53	8	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	#383	—	106	1	no	—
207	#382	—	53	2	no	—
208	#381	—	106	1	no	—
209	#380	—	53	2	no	—
210	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
211	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
212	#376	—	106	1	no	—
213	#340	—	53	8	no	—
214	C₅₃	#20741	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
215	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
217	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
218	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
219	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
220	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
221	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
222	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
223	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
224	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
227	C₄×Q₈	—	53	8	no	—
228	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
231	C₄×Q₈	—	106	8	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	8	no	—
244	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
246	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
252	#103	—	106	16	no	—
253	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
254	#97	—	2	4	no	—
255	#95	—	106	2	no	—
256	#95	—	106	2	no	—
257	#95	—	106	2	no	—
258	#95	—	106	2	no	—
259	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
278	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₄²	—	106	8	no	—
298	C₄²	—	106	8	no	—
299	C₄²	—	212	4	no	—
300	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
301	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
302	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
309	C₂³	#13133250	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	53	8	no	—
312	Q₈	—	106	16	no	—
313	Q₈	—	106	4	no	—
314	Q₈	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	106	16	no	—
325	C₂×C₄	—	106	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	8	no	—
327	C₂×C₄	—	106	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	4	no	—
330	C₂×C₄	—	212	4	no	—
331	C₂×C₄	—	212	8	no	—
332	C₂×C₄	—	212	4	no	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	4	yes	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	#16810633	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
349	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	106	8	no	—
356	C₄	—	424	4	no	—
357	C₄	—	212	4	no	—
358	C₄	#117×D₅₃	1	2	yes	—
359	C₄	#16811130	1	2	yes	—
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	#20277094	1	1	yes	characteristic
362	C₂	C₂×#16810633	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20283235	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20284888	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#432	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#432	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20741
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#432

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20274731	C₂	semidirect
6. #20274546	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
214. C₅₃	#20741	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
#20277113	2
#20274806	2
#20274731	2
#20274651	2
#20274546	2
C₂×C₅₃×#432	2
#20741	53