Subgroups — #27384391

Order 13568.

758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20274859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20274830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20274782	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20274698	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274573	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274482	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274464	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133174	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄²×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133129	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#11719919	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#11719919	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×#11719921	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×#11719921	C₄	1	2	yes	—
20	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
26	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133174	—	2	4	no	—
35	#13133174	—	2	4	no	—
36	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄²×D₅₃	—	2	4	no	—
49	#13133146	—	2	8	no	—
50	#13133129	—	2	8	no	—
51	#13133128	—	2	4	no	—
52	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	#13133124	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
88	#11719921	—	2	2	no	—
89	#11719921	—	2	2	no	—
90	#11719921	—	2	4	no	—
91	#11719919	—	2	2	no	—
92	#11719919	—	2	2	no	—
93	#11719919	—	2	4	no	—
94	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	C₄×Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
100	C₂×#88322	—	2	4	no	—
101	C₂×#88322	—	2	4	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₅₃	#117	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	#117	1	2	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	#117	1	4	yes	—
135	C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
136	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	#88322	—	4	4	no	—
139	#20780	—	53	1	no	maximal, Sylow
140	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
144	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
145	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×C₅₃	#529	1	4	yes	—
155	Dic₅₃	—	2	4	no	—
156	Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	Dic₅₃	—	4	1	no	—
158	Dic₅₃	—	4	1	no	—
159	Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×#117	—	53	1	no	—
161	#1840	—	53	2	no	—
162	#1831	—	53	2	no	—
163	#1817	—	53	2	no	—
164	#1798	—	53	2	no	—
165	#1768	—	53	2	no	—
166	#1750	—	53	2	no	—
167	#1745	—	53	1	no	—
168	#1744	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
169	C₂×C₅₃	#2283	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#2922	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	#2923	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#2924	1	2	yes	—
173	C₂×C₅₃	#2925	1	2	yes	—
174	D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×#117	—	53	1	no	—
176	C₂×#117	—	53	1	no	—
177	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
180	C₂×#97	—	53	2	no	—
181	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
183	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
185	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
186	#376	—	53	1	no	—
187	#376	—	53	1	no	—
188	C₄³	—	53	1	no	—
189	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	#336	—	53	4	no	—
191	#336	—	53	4	no	—
192	#336	—	53	2	no	—
193	#336	—	53	2	no	—
194	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₅₃	#20780	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
198	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
199	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
200	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
201	#117	—	106	4	no	—
202	#117	—	106	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
210	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
213	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
216	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
223	#97	—	106	4	no	—
224	C₄×C₈	—	2	4	no	—
225	#95	—	53	2	no	—
226	#95	—	53	2	no	—
227	#95	—	53	2	no	—
228	#95	—	53	2	no	—
229	C₂⁴	—	53	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	106	4	no	—
250	C₂×C₈	—	106	4	no	—
251	C₂×C₈	—	106	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	53	4	no	—
263	C₄²	—	106	4	no	—
264	C₄²	—	106	4	no	—
265	C₄²	—	106	2	no	—
266	C₄²	—	106	2	no	—
267	C₄²	—	212	2	no	—
268	C₄²	#11719945	1	4	yes	—
269	C₂³	—	53	2	no	—
270	C₂³	—	106	1	no	—
271	C₂³	—	106	1	no	—
272	C₂³	—	106	2	no	—
273	C₂³	—	106	2	no	—
274	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	53	4	no	—
283	C₂×C₄	—	53	2	no	—
284	C₂×C₄	—	106	1	no	—
285	C₂×C₄	—	106	1	no	—
286	C₂×C₄	—	106	2	no	—
287	C₂×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂×C₄	—	106	8	no	—
289	C₂×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂×C₄	—	106	1	no	—
291	C₂×C₄	—	106	1	no	—
292	C₂×C₄	—	106	2	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	106	2	no	—
295	C₂×C₄	—	106	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	8	no	—
297	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
303	C₈	—	4	4	no	—
304	C₈	—	212	4	no	—
305	C₂²	—	106	2	no	—
306	C₂²	—	106	4	no	—
307	C₂²	—	212	1	no	—
308	C₂²	—	212	1	no	—
309	C₂²	—	212	2	no	—
310	C₂²	#117×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#117×D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
314	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	106	2	no	—
320	C₄	—	106	4	no	—
321	C₄	—	212	1	no	—
322	C₄	—	212	1	no	—
323	C₄	—	212	2	no	—
324	C₄	#16811151	1	4	yes	—
325	C₂	—	212	2	no	—
326	C₂	#20277107	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#20283357	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#20283364	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20283368	1	2	yes	—
330	C₂	#20283376	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1744	C₂
prime radical	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1744	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20780
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20274859	C₂	semidirect
3. #20274830	C₂	semidirect
6. #20274573	C₂	semidirect
8. #20274464	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1744	C₂	semidirect
168. #1744	D₅₃	semidirect
196. C₅₃	#20780	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133174	2
#20274859	2
#20274830	2
#20274782	2
#20274698	2
#20274573	2
#20274482	2
#20274464	2
C₅₃×#1744	2
#20780	53