Subgroups — #27384755

Order 13568.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810650	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20274895	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20274412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₅₃×#2280	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×#88322	—	2	8	no	—
10	C₂³×#88322	—	2	4	no	—
11	C₂³×#88322	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810650	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	8	yes	complemented
15	#16810587	—	2	4	no	—
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810378	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₅₃×#381	C₄	1	2	yes	—
21	C₅₃×#380	C₄	1	4	yes	—
22	C₅₃×#379	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
25	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
26	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
27	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
28	C₂²×#88322	—	2	32	no	—
29	C₂²×#88322	—	2	16	no	—
30	C₂²×#88322	—	2	8	no	—
31	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
32	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
33	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
37	C₄⋊#88322	—	2	16	no	—
38	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
39	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
49	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
81	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
82	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
84	#11719917	—	4	4	no	—
85	#11719917	—	4	4	no	—
86	C₂×#88322	—	2	32	no	—
87	C₂×#88322	—	2	16	no	—
88	C₂×#88322	—	2	4	no	—
89	C₂×#88322	—	2	4	no	—
90	C₂×#88322	—	2	2	no	—
91	C₂×#88322	—	2	2	no	—
92	C₂×#88322	—	2	4	no	—
93	C₂×#88322	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
96	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	#131	1	8	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
124	#88322	—	2	8	no	—
125	#88322	—	4	2	no	—
126	#88322	—	4	2	no	—
127	#20834	—	53	1	no	maximal, Sylow
128	C₂²×C₅₃	—	2	32	no	—
129	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	16	no	—
133	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₅₃	#385	1	4	yes	—
135	C₂²×C₅₃	#424	1	8	yes	complemented
136	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
139	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
141	C₄×C₅₃	#385	1	4	yes	—
142	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
144	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
145	C₂⁴×C₈	—	53	1	no	—
146	C₂×#424	—	53	2	no	—
147	C₂×#407	—	53	1	no	—
148	#2280	D₅₃	1	1	yes	characteristic
149	#1850	—	53	8	no	—
150	#1729	—	53	2	no	—
151	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂×C₅₃	—	2	8	no	—
153	C₂×C₅₃	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₅₃	C₂×#424	1	2	yes	—
155	C₂×C₅₃	#2929	1	4	yes	—
156	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
158	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
159	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
160	C₂³×C₈	—	53	4	no	—
161	C₂³×C₈	—	106	8	no	—
162	C₂³×C₈	—	106	4	no	—
163	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
164	#424	—	106	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
166	#407	—	106	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
168	#381	Dic₅₃	1	2	yes	—
169	#380	Dic₅₃	1	4	yes	—
170	#379	Dic₅₃	1	2	yes	—
171	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
172	#336	—	53	8	no	—
173	C₅₃	#20834	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂⁵	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂³×C₄	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
178	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	4	yes	—
179	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
180	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
184	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
185	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
186	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
190	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₈	—	106	16	no	—
192	C₂²×C₈	—	106	32	no	—
193	C₂²×C₈	—	106	8	no	—
194	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
195	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
196	#117	—	2	4	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	C₄⋊C₈	—	106	16	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
204	#95	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	8	no	—
207	C₂⁴	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	212	4	no	—
230	M₁₆	—	212	4	no	—
231	C₂×C₈	—	53	8	no	—
232	C₂×C₈	—	106	32	no	—
233	C₂×C₈	—	106	16	no	—
234	C₂×C₈	—	106	4	no	—
235	C₂×C₈	—	106	4	no	—
236	C₂×C₈	—	106	4	no	—
237	C₂×C₈	—	106	2	no	—
238	C₂×C₈	—	106	2	no	—
239	C₂×C₈	—	106	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	32	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
253	C₂³	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
254	C₂³	#13133224	1	8	yes	—
255	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#13133194	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#13133201	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
274	C₈	—	106	8	no	—
275	C₈	—	212	2	no	—
276	C₈	—	212	2	no	—
277	C₂²	—	2	32	no	—
278	C₂²	—	2	8	no	—
279	C₂²	—	2	16	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	#16810498	1	4	yes	—
284	C₂²	#16810650	1	8	yes	complemented
285	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
287	C₂²	C₂×#13133224	1	4	yes	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	4	8	no	—
290	C₄	#16810498	1	4	yes	—
291	C₄	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
292	C₄	C₂×#13133194	1	2	yes	—
293	C₄	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	2	8	no	—
296	C₂	C₂×#16810498	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#16810650	1	2	yes	—
298	C₂	#20283410	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#2280	C₂
prime radical	C₂⁵×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2280	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#20834
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2280

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810650	C₂	semidirect
4. #20274895	C₂	semidirect
5. #20274412	C₂	semidirect
14. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
17. #16810378	C₂²	semidirect
135. C₂²×C₅₃	#424	semidirect
173. C₅₃	#20834	semidirect
284. C₂²	#16810650	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×#88322	2
C₂×#16810650	2
C₂×#16810587	2
#20274895	2
#20274412	2
C₅₃×#2280	2
#20834	53