Subgroups — #27386181

Order 13568.

914 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275276	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275269	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810578	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810521	C₄	1	2	yes	—
18	#16810521	C₄	1	2	yes	—
19	#16810496	C₄	1	2	yes	—
20	#16810496	C₄	1	2	yes	—
21	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
26	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
31	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
38	C₂×#11719917	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	#13133176	—	2	2	no	—
44	#13133176	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133127	—	2	4	no	—
55	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
56	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	#11719919	—	2	8	no	—
114	#11719919	—	4	4	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	#11719917	—	2	8	no	—
120	#11719917	—	4	4	no	—
121	C₂×#88322	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
161	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
164	#88322	—	2	4	no	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#21024	—	53	1	no	maximal, Sylow
167	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₅₃	#387	1	4	yes	—
172	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	#387	1	4	yes	—
180	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
184	Dic₅₃	—	4	4	no	—
185	Dic₅₃	—	4	2	no	—
186	Dic₅₃	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×#405	—	53	1	no	—
189	#2296	—	53	1	no	—
190	#1917	—	53	4	no	—
191	#1916	—	53	4	no	—
192	#1729	—	53	1	no	—
193	#1729	—	53	1	no	—
194	#1729	—	53	1	no	—
195	#1728	—	53	1	no	—
196	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
197	C₂×C₅₃	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#2925	1	2	yes	—
199	C₂×C₅₃	#2929	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	#2930	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#2962	1	2	yes	—
202	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
203	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
204	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×#117	—	53	1	no	—
207	C₂×#117	—	53	1	no	—
208	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	#405	—	106	4	no	—
213	C₂×#97	—	53	2	no	—
214	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
215	#389	—	53	2	no	—
216	#389	—	53	2	no	—
217	#385	—	53	2	no	—
218	#385	—	53	2	no	—
219	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	#336	—	53	2	no	—
221	#336	—	53	4	no	—
222	#336	—	53	4	no	—
223	#336	—	53	2	no	—
224	#336	—	53	4	no	—
225	C₅₃	#21024	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
231	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
233	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
234	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
235	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
241	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
242	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
243	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#117	—	106	2	no	—
247	#117	—	106	2	no	—
248	#117	—	106	2	no	—
249	#117	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
256	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
257	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
261	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
265	#97	—	106	4	no	—
266	C₄×C₈	—	106	4	no	—
267	#95	—	53	4	no	—
268	#95	—	53	4	no	—
269	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	106	8	no	—
288	M₁₆	—	212	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	—	53	4	no	—
299	C₂×C₈	—	106	2	no	—
300	C₂×C₈	—	106	2	no	—
301	C₂×C₈	—	106	2	no	—
302	C₂×C₈	—	106	2	no	—
303	C₂×C₈	—	106	2	no	—
304	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	106	2	no	—
317	C₄²	—	106	2	no	—
318	C₄²	—	106	2	no	—
319	C₄²	—	106	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	#13133175	1	2	yes	—
323	C₂³	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
324	C₂³	#13133182	1	2	yes	—
325	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	106	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	106	2	no	—
336	C₂×C₄	—	106	4	no	—
337	C₂×C₄	—	106	4	no	—
338	C₂×C₄	—	106	4	no	—
339	C₂×C₄	—	106	4	no	—
340	C₂×C₄	#13133175	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#13133182	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#13133198	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#13133207	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#13133212	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	106	4	no	—
358	C₈	—	212	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	#16810504	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×#13133175	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
368	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	212	2	no	—
372	C₄	—	212	2	no	—
373	C₄	—	212	4	no	—
374	C₄	#16810504	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#13133198	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#13133207	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#13133212	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	C₂×#16810504	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#20283380	1	2	yes	—
382	C₂	#20283409	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20283418	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#20283658	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21024
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275276	C₂	semidirect
4. #20275269	C₂	semidirect
225. C₅₃	#21024	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810578	2
#20277198	2
#20275276	2
#20275269	2
#20274411	2
#20274409	2
C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	2
#21024	53