Subgroups — #27386204

Order 13568.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810651	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810581	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275280	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275273	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810651	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810581	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810493	C₄	1	2	yes	—
20	#16810489	C₄	1	2	yes	—
21	#16810483	C₄	1	4	yes	—
22	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#336	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
33	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
34	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
35	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
36	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
37	C₂²×#88322	Q₈	1	4	yes	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	#13133176	—	2	2	no	—
44	#13133176	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133146	—	2	8	no	—
54	#13133127	—	2	4	no	—
55	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
56	#13133124	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
89	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×#88322	—	2	8	no	—
111	C₂×#88322	—	2	1	no	—
112	C₂×#88322	—	2	1	no	—
113	C₂×#88322	—	2	1	no	—
114	C₂×#88322	—	2	1	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	4	4	no	—
119	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	#88322	—	2	2	no	—
156	#88322	—	2	2	no	—
157	#88322	—	4	2	no	—
158	#21026	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	#387	1	4	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	#387	1	4	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
176	Dic₅₃	—	4	4	no	—
177	Dic₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂×#424	—	53	1	no	—
179	C₂×#405	—	53	1	no	—
180	#2285	—	53	1	no	—
181	#1917	—	53	4	no	—
182	#1916	—	53	4	no	—
183	#1729	—	53	1	no	—
184	#1729	—	53	1	no	—
185	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×#336	—	53	1	no	—
187	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
188	C₂×C₅₃	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#2924	1	2	yes	—
190	C₂×C₅₃	#2935	1	2	yes	—
191	C₂×C₅₃	#2960	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#2961	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
196	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
197	C₂×#117	—	53	1	no	—
198	C₂×#117	—	53	1	no	—
199	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#424	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
202	#405	—	106	4	no	—
203	C₂×#97	—	53	2	no	—
204	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
205	#384	—	53	2	no	—
206	#382	—	53	2	no	—
207	#380	—	53	4	no	—
208	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
209	#336	—	53	2	no	—
210	#336	—	53	4	no	—
211	#336	—	53	2	no	—
212	#336	—	53	2	no	—
213	#336	—	53	2	no	—
214	#336	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
215	C₅₃	#21026	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
219	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
220	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
221	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
222	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
223	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	4	yes	—
224	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
229	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	#117	—	106	2	no	—
237	#117	—	106	2	no	—
238	#117	—	106	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
245	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
249	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
253	#97	—	106	4	no	—
254	C₄×C₈	—	106	4	no	—
255	#95	—	53	8	no	—
256	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	M₁₆	—	2	8	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	53	2	no	—
280	C₂×C₈	—	53	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	8	no	—
282	C₂×C₈	—	106	1	no	—
283	C₂×C₈	—	106	1	no	—
284	C₂×C₈	—	106	1	no	—
285	C₂×C₈	—	106	1	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	212	4	no	—
290	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₄²	—	106	2	no	—
303	C₄²	—	106	2	no	—
304	C₄²	—	106	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	#13133173	1	2	yes	—
308	C₂³	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
309	C₂³	#13133182	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂×C₄	—	106	4	no	—
319	C₂×C₄	—	106	4	no	—
320	C₂×C₄	—	106	4	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	4	no	—
323	C₂×C₄	#13133173	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133182	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#13133201	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#13133207	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#13133210	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#13133225	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
337	C₈	—	2	4	no	—
338	C₈	—	4	2	no	—
339	C₈	—	106	2	no	—
340	C₈	—	106	2	no	—
341	C₈	—	212	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	#16810508	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂×#13133173	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#13133225	1	2	yes	—
351	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	212	4	no	—
355	C₄	—	212	4	no	—
356	C₄	#16810508	1	4	yes	—
357	C₄	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#13133207	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#13133210	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	4	no	—
362	C₂	C₂×#16810508	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20283375	1	2	yes	—
364	C₂	#20283461	1	2	yes	—
365	C₂	#20283645	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#20283652	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21026
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20275280	C₂	semidirect
5. #20275273	C₂	semidirect
215. C₅₃	#21026	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810651	2
C₂×#16810581	2
#20277122	2
#20275280	2
#20275273	2
#20274413	2
C₂×#16810378	2
C₅₃×#1728	2
#21026	53