Subgroups — #27386212

Order 13568.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277197	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275279	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275272	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274412	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#16810377	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×C₅₃×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810646	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810519	C₄	1	2	yes	—
17	#16810519	C₄	1	2	yes	—
18	#16810495	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810377	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#405	—	2	4	no	—
30	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
37	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
38	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133176	—	2	2	no	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	#13133146	—	2	8	no	—
54	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
67	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	M₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	#11719919	—	2	8	no	—
107	#11719919	—	4	4	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	#11719917	—	4	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	#117	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#126	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
153	C₂×Dic₅₃	#131	1	4	yes	—
154	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
157	#88322	—	4	2	no	—
158	#88322	—	4	2	no	—
159	#21027	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	#387	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	#387	1	4	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
176	Dic₅₃	—	2	4	no	—
177	Dic₅₃	—	4	4	no	—
178	Dic₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂×#423	—	53	1	no	—
180	C₂×#405	D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#2296	—	53	1	no	—
182	#1917	—	53	4	no	—
183	#1916	—	53	4	no	—
184	#1729	—	53	1	no	—
185	#1729	—	53	1	no	—
186	#1729	—	53	1	no	—
187	C₂×#336	—	53	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₂×C₅₃	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2925	1	2	yes	—
191	C₂×C₅₃	#2933	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#2960	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#2961	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
195	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
197	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×#117	—	53	1	no	—
199	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
201	#423	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
203	#405	—	2	4	no	—
204	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	#389	—	53	2	no	—
207	#389	—	53	2	no	—
208	#385	—	53	4	no	—
209	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
210	#336	—	53	2	no	—
211	#336	—	53	2	no	—
212	#336	—	53	4	no	—
213	#336	—	53	2	no	—
214	#336	—	53	2	no	—
215	#336	—	53	4	no	—
216	C₅₃	#21027	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
220	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
221	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
222	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
223	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
224	C₂×M₁₆	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
225	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
229	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
236	#117	—	2	2	no	—
237	#117	—	2	2	no	—
238	#117	—	106	2	no	—
239	#117	—	106	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
252	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
254	#97	—	2	4	no	—
255	C₄×C₈	—	2	4	no	—
256	#95	—	53	4	no	—
257	#95	—	53	4	no	—
258	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
265	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	M₁₆	—	2	8	no	—
275	M₁₆	—	212	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	212	4	no	—
290	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	106	2	no	—
302	C₄²	—	106	2	no	—
303	C₄²	—	106	2	no	—
304	C₄²	—	106	2	no	—
305	C₄²	—	106	2	no	—
306	C₄²	—	106	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	#13133174	1	2	yes	—
310	C₂³	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	53	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂×C₄	—	106	2	no	—
319	C₂×C₄	—	106	4	no	—
320	C₂×C₄	—	106	2	no	—
321	C₂×C₄	—	106	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	2	no	—
323	C₂×C₄	—	106	2	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	212	8	no	—
326	C₂×C₄	#13133174	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#13133196	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#13133200	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#13133209	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#13133211	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	212	2	no	—
343	C₈	—	212	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	#16810507	1	4	yes	—
349	C₂²	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#131×D₅₃	1	2	yes	—
353	C₂²	#16811388	1	2	yes	—
354	C₄	—	4	4	no	—
355	C₄	—	106	4	no	—
356	C₄	—	212	2	no	—
357	C₄	—	212	4	no	—
358	C₄	#16810507	1	4	yes	—
359	C₄	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#13133200	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#13133209	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂×#13133211	1	1	yes	characteristic
363	C₂	—	2	4	no	—
364	C₂	C₂×#16810507	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20283379	1	2	yes	—
366	C₂	#20283437	1	2	yes	—
367	C₂	#20283647	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#20283653	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#405	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#405	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21027
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#405

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275279	C₂	semidirect
4. #20275272	C₂	semidirect
216. C₅₃	#21027	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810646	2
#20277197	2
#20275279	2
#20275272	2
#20274413	2
#20274412	2
#20274411	2
C₂×#16810377	2
C₂×C₅₃×#405	2
#21027	53