Subgroups — #27387262

Order 13568.

814 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277078	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275350	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275308	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275055	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274986	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#13133149	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20274546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20274546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×Dic₂₁₂	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133142	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#13133142	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810505	—	2	2	no	—
26	#16810490	—	2	1	no	—
27	#16810487	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810474	—	2	2	no	—
32	#16810474	—	2	1	no	—
33	#16810468	—	2	1	no	—
34	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
36	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
47	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
48	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
49	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
50	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
57	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
58	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
59	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
66	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#13133149	—	2	4	no	—
68	#13133142	—	2	4	no	—
69	#13133142	—	2	4	no	—
70	#13133142	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#13133142	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#13133124	—	2	2	no	—
73	#13133124	—	2	2	no	—
74	#13133124	—	2	2	no	—
75	#13133124	—	2	2	no	—
76	#13133124	—	2	1	no	—
77	#13133124	—	2	1	no	—
78	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
86	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#95×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	4	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
126	#11719919	—	2	8	no	—
127	#11719919	—	2	4	no	—
128	#11719919	—	2	4	no	—
129	#11719919	—	8	2	no	—
130	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
131	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
132	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	8	1	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	8	1	no	—
136	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
137	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
171	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
172	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
174	Dic₁₀₆	#117	1	4	yes	—
175	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
178	#21132	—	53	1	no	maximal, Sylow
179	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
181	C₂²×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
184	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
191	Dic₅₃	—	2	4	no	—
192	Dic₅₃	—	4	4	no	—
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	4	2	no	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	8	2	no	—
197	C₂×C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
198	#2320	—	53	1	no	—
199	#2276	—	53	1	no	—
200	#1927	—	53	2	no	—
201	#1921	—	53	2	no	—
202	#1878	—	53	2	no	—
203	#1865	—	53	2	no	—
204	C₄×#106	—	53	1	no	—
205	#1763	—	53	1	no	—
206	#1763	—	53	1	no	—
207	#1746	D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	#2290	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	#2950	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	#3120	1	2	yes	—
212	C₂×C₅₃	#3121	1	2	yes	—
213	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
215	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
216	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
217	C₄×Q₁₆	—	53	8	no	—
218	C₂×#107	—	53	1	no	—
219	C₂×#106	—	53	2	no	—
220	C₂×#103	—	53	1	no	—
221	C₂×#103	—	53	1	no	—
222	C₂×#103	—	53	2	no	—
223	C₂×#103	—	53	2	no	—
224	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	#391	—	53	2	no	—
227	#389	—	53	2	no	—
228	#387	—	106	2	no	—
229	#383	—	106	1	no	—
230	#382	—	106	1	no	—
231	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
232	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
234	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
235	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
236	#376	—	106	1	no	—
237	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#340	—	53	2	no	—
239	#340	—	53	2	no	—
240	#340	—	53	2	no	—
241	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
242	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₅₃	#21132	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
244	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
245	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
246	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
247	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
248	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
252	C₄×Q₈	—	53	4	no	—
253	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
254	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
255	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
256	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
265	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
266	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
267	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
268	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
269	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
270	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
271	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#107	—	53	4	no	—
274	#106	—	106	4	no	—
275	#103	—	53	4	no	—
276	#103	—	53	4	no	—
277	#103	—	106	4	no	—
278	#103	—	106	4	no	—
279	#97	—	2	2	no	—
280	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
281	#95	—	106	2	no	—
282	#95	—	106	1	no	—
283	#95	—	106	1	no	—
284	#95	—	106	2	no	—
285	#95	—	106	2	no	—
286	#95	—	106	2	no	—
287	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
288	#95	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
289	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
290	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
294	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
295	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
296	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
297	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
300	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
301	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
303	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
304	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
308	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	Q₁₆	—	106	8	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
317	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
321	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
325	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
326	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	106	8	no	—
332	C₄²	—	106	4	no	—
333	C₄²	—	106	4	no	—
334	C₄²	—	424	1	no	—
335	C₄²	—	424	1	no	—
336	C₄²	—	424	2	no	—
337	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
338	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	53	4	no	—
341	Q₈	—	106	2	no	—
342	Q₈	—	106	4	no	—
343	Q₈	—	106	2	no	—
344	Q₈	—	106	2	no	—
345	Q₈	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	106	2	no	—
356	C₂×C₄	—	106	4	no	—
357	C₂×C₄	—	106	2	no	—
358	C₂×C₄	—	106	2	no	—
359	C₂×C₄	—	106	2	no	—
360	C₂×C₄	—	106	4	no	—
361	C₂×C₄	—	212	2	no	—
362	C₂×C₄	—	212	2	no	—
363	C₂×C₄	—	212	2	no	—
364	C₂×C₄	—	212	2	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	—	212	1	no	—
367	C₂×C₄	—	212	1	no	—
368	C₂×C₄	—	212	1	no	—
369	C₂×C₄	—	212	1	no	—
370	C₂×C₄	—	212	2	no	—
371	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#16811135	1	2	yes	—
382	C₂²	#16811435	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#16811435	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#16811440	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	106	4	no	—
390	C₄	—	424	2	no	—
391	C₄	—	212	4	no	—
392	C₄	—	212	2	no	—
393	C₄	—	212	2	no	—
394	C₄	—	212	2	no	—
395	C₄	#117×D₅₃	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#16811091	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#16811151	1	2	yes	—
398	C₂	#20277159	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#20283584	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20283600	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#20284931	1	2	yes	—
402	C₂	#20284946	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1746	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1746	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21132
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #1746

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. C₄×Dic₂₁₂	C₄	semidirect
243. C₅₃	#21132	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×Dic₂₁₂	2
#20277367	2
#20277078	2
#20275350	2
#20275308	2
#20275055	2
#20274986	2
C₄×#13133149	2
#20274546	2
C₅₃×#1746	2
#21132	53