Subgroups — #27387404

Order 13568.

1002 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810649	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810649	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16810578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275432	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20274411	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×C₅₃×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810649	—	2	4	no	—
15	#16810649	—	2	4	no	—
16	#16810647	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133146	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810578	—	2	4	no	—
21	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810521	C₄	1	2	yes	—
24	#16810521	C₄	1	2	yes	—
25	#16810496	C₄	1	4	yes	—
26	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
35	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
37	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
38	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719917	D₄	1	4	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133176	—	2	2	no	—
43	#13133176	—	2	2	no	—
44	#13133176	D₄	1	4	yes	—
45	#13133176	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
55	#13133146	—	2	8	no	—
56	#13133146	—	2	8	no	—
57	#13133127	—	2	4	no	—
58	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
59	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#13133124	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
112	#11719919	—	2	8	no	—
113	#11719919	—	4	4	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	#11719917	—	2	8	no	—
119	#11719917	—	4	4	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
161	#88322	—	2	4	no	—
162	#88322	—	4	2	no	—
163	#21148	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	#389	1	4	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
173	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
174	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₄×C₅₃	#389	1	4	yes	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
181	Dic₅₃	—	2	8	no	—
182	Dic₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂×#424	—	53	1	no	—
184	C₂×#424	—	53	1	no	—
185	C₂×#423	—	53	1	no	—
186	C₂×#405	—	53	1	no	—
187	#2296	—	53	1	no	—
188	#1940	—	53	4	no	—
189	#1939	—	53	4	no	—
190	#1729	—	53	1	no	—
191	C₂×#336	D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
193	C₂×C₅₃	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#2906	1	2	yes	—
195	C₂×C₅₃	#2933	1	2	yes	—
196	C₂×C₅₃	#2960	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#2961	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
199	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
200	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×#117	—	53	1	no	—
203	C₂×#117	—	53	1	no	—
204	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	#424	—	106	4	no	—
206	#424	—	106	4	no	—
207	#423	—	106	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
211	#405	—	106	4	no	—
212	C₂×#97	—	53	2	no	—
213	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
214	#389	—	53	2	no	—
215	#389	—	53	2	no	—
216	#385	—	53	4	no	—
217	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
218	#336	—	53	2	no	—
219	#336	—	53	2	no	—
220	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	C₅₃	#21148	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
226	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
237	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
239	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	#117	—	53	4	no	—
243	#117	—	53	4	no	—
244	#117	—	106	2	no	—
245	#117	—	106	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
252	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
255	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
256	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
260	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
261	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
262	#97	—	106	4	no	—
263	C₄×C₈	—	106	4	no	—
264	#95	—	53	4	no	—
265	#95	—	53	4	no	—
266	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	M₁₆	—	106	8	no	—
283	M₁₆	—	212	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	2	1	no	—
286	C₂×C₈	—	2	1	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₂×C₈	—	53	4	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₂×C₈	—	106	2	no	—
297	C₂×C₈	—	106	2	no	—
298	C₂×C₈	—	106	2	no	—
299	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	53	4	no	—
312	C₄²	—	53	4	no	—
313	C₄²	—	106	2	no	—
314	C₄²	—	106	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
318	C₂³	#13133177	1	2	yes	—
319	C₂³	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	53	8	no	—
328	C₂×C₄	—	106	4	no	—
329	C₂×C₄	—	106	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	4	no	—
331	C₂×C₄	—	106	4	no	—
332	C₂×C₄	—	106	4	no	—
333	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₄×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#13133190	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#13133194	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#13133207	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#13133216	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#13133223	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	—	106	4	no	—
351	C₈	—	212	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	#16810520	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×C₄×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
361	C₂²	#16811389	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	106	8	no	—
365	C₄	—	212	4	no	—
366	C₄	#16810520	1	4	yes	—
367	C₄	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
368	C₄	C₂×#13133194	1	1	yes	characteristic
369	C₄	C₂×#13133207	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×#13133216	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	C₂×#16810520	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20283280	1	2	yes	—
374	C₂	#20283436	1	2	yes	—
375	C₂	#20283649	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20283655	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#336	C₂
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#336	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21148
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #20275437	C₂	semidirect
7. #20275432	C₂	semidirect
222. C₅₃	#21148	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810649	2
C₂×#16810647	2
C₂×#16810578	2
#20277198	2
#20275437	2
#20275432	2
#20274411	2
C₂×C₅₃×#336	2
#21148	53