Subgroups — #27387441

Order 13568.

998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20277198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275455	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275450	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810659	—	2	4	no	—
15	#16810659	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133128	—	2	4	no	—
21	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810496	—	2	2	no	—
25	C₄×#11719919	—	2	2	no	—
26	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#389	C₂²	1	4	yes	—
32	C₅₃×#385	—	2	2	no	—
33	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
35	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
36	C₂²×#88322	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×#88322	D₄	1	4	yes	—
38	C₂²×#88322	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂²×#88322	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#13133176	—	2	2	no	—
44	#13133176	—	2	2	no	—
45	#13133176	—	2	2	no	—
46	#13133176	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
54	#13133150	—	2	4	no	—
55	#13133150	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	#13133148	—	2	4	no	—
57	#13133148	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#13133128	—	2	4	no	—
59	#13133128	—	2	4	no	—
60	#13133124	—	2	4	no	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
64	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
66	#117×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	#11719919	—	4	8	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	8	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
120	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×#88322	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#125	1	4	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
157	#88322	—	2	4	no	—
158	#88322	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
159	#88322	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	#21154	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	#389	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
169	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₄×C₅₃	#389	1	4	yes	—
173	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
177	Dic₅₃	—	4	4	no	—
178	Dic₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×#427	—	53	1	no	—
180	C₂×#427	—	53	1	no	—
181	C₂²×#97	—	53	1	no	—
182	#2296	—	53	1	no	—
183	#2296	D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	#1944	—	53	4	no	—
185	#1943	—	53	4	no	—
186	#1735	—	53	1	no	—
187	#1735	—	53	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₂×C₅₃	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#2943	1	2	yes	—
191	C₂×C₅₃	#3054	1	2	yes	—
192	C₂×C₅₃	#3162	1	2	yes	—
193	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
194	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
195	C₂×#117	—	53	1	no	—
196	C₂×#117	—	53	1	no	—
197	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#427	—	53	8	no	—
201	#427	—	106	4	no	—
202	C₂×#107	—	53	2	no	—
203	C₂×#107	—	53	2	no	—
204	C₂×#106	—	53	2	no	—
205	C₂×#106	—	53	2	no	—
206	C₂×#97	—	53	2	no	—
207	C₂×#97	—	53	2	no	—
208	C₂×#97	—	106	4	no	—
209	#389	—	53	4	no	—
210	#389	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
211	#385	—	2	2	no	—
212	#385	—	106	2	no	—
213	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
215	#340	—	53	4	no	—
216	#340	—	53	4	no	—
217	C₅₃	#21154	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
218	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
228	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
229	#117	—	2	2	no	—
230	#117	—	2	2	no	—
231	#117	—	2	2	no	—
232	#117	—	53	4	no	—
233	#117	—	106	2	no	—
234	#117	—	106	2	no	—
235	#117	—	106	2	no	—
236	#117	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
247	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
252	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
255	#107	—	53	8	no	—
256	#107	—	106	4	no	—
257	#106	—	53	8	no	—
258	#106	—	106	4	no	—
259	#97	—	106	4	no	—
260	#97	—	106	4	no	—
261	#95	—	2	4	no	—
262	#95	—	106	4	no	—
263	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	—	53	16	no	—
280	C₂×C₈	—	53	2	no	—
281	C₂×C₈	—	53	2	no	—
282	C₂×C₈	—	53	2	no	—
283	C₂×C₈	—	53	2	no	—
284	C₂×C₈	—	53	2	no	—
285	C₂×C₈	—	53	2	no	—
286	C₂×C₈	—	53	4	no	—
287	C₂×C₈	—	106	8	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	106	4	no	—
310	C₄²	—	212	2	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₂³	#13133189	1	2	yes	—
314	C₂³	#13133215	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	212	2	no	—
326	C₂×C₄	—	212	4	no	—
327	C₂×C₄	—	212	4	no	—
328	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#13133182	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#13133207	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	53	4	no	—
342	C₈	—	53	4	no	—
343	C₈	—	106	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	#16810518	1	4	yes	—
348	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#13133189	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#16811421	1	4	yes	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	424	2	no	—
356	C₄	—	212	4	no	—
357	C₄	#16810518	1	4	yes	—
358	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#13133182	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#13133207	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	C₂×#16810518	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20283513	1	2	yes	—
365	C₂	#20284321	1	2	yes	—
366	C₂	#20285237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2296	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2296	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21154
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2296

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #20275455	C₂	semidirect
6. #20275450	C₂	semidirect
15. #16810659	C₄	semidirect
55. #13133150	C₂×C₄	semidirect
57. #13133148	C₂×C₄	semidirect
119. C₂×#88322	C₄⋊C₄	semidirect
217. C₅₃	#21154	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810659	2
C₂²×#13133128	2
#20277198	2
#20275455	2
#20275450	2
#20274431	2
C₅₃×#2296	2
#21154	53