Subgroups — C₂×#20275512 #27387675

Order 13568.

2094 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#13133129	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275512	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×D₂₁₂	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#11719921	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#13133129	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133129	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×#13133128	—	2	4	no	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂⁴×D₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
25	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂³×Dic₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
31	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
35	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
36	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	complemented
37	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
38	C₄×D₂₁₂	—	2	16	no	—
39	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
40	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#11719921	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719921	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	#13133129	—	2	32	no	—
46	#13133128	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂³×D₅₃	M₁₆	1	8	yes	—
64	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	4	8	no	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	#11719921	—	2	16	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
100	C₂×#88322	—	2	16	no	—
101	C₂×#88322	—	2	4	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
104	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
107	C₂³×C₅₃	#131	1	4	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
118	C₂²×D₅₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
137	D₂₁₂	—	2	32	no	—
138	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
139	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
140	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
142	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
143	#88322	—	2	8	no	—
144	C₂×#1955	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#407	1	4	yes	—
147	C₂²×C₅₃	#408	1	4	yes	—
148	C₂²×C₅₃	#435	1	16	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
152	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	2	yes	—
153	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
154	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
155	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
157	C₂×D₅₃	—	4	32	no	—
158	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
165	Dic₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄×D₄	—	53	1	no	—
167	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
168	C₂²×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
169	C₂²×#97	—	53	1	no	—
170	#1955	—	53	8	no	—
171	C₂×C₅₃	#1955	1	8	yes	complemented
172	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₂×#435	1	4	yes	—
176	D₅₃	—	4	8	no	—
177	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
178	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
179	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
180	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
182	C₂×C₄×D₄	—	53	4	no	—
183	C₂×C₄×D₄	—	106	4	no	—
184	C₂×C₄×D₄	—	106	4	no	—
185	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
186	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
187	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
190	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₈	—	106	16	no	—
192	C₂×#97	—	53	4	no	—
193	C₂×#97	—	106	4	no	—
194	C₅₃	C₂×#1955	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
195	C₂⁵	—	53	2	no	—
196	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
197	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
198	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
199	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
200	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
201	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
202	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
203	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
204	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
205	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
206	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₄	C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
212	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
213	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
214	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
215	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
216	C₄×D₄	—	106	8	no	—
217	C₄×D₄	—	106	8	no	—
218	C₄×D₄	—	106	16	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
223	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	106	32	no	—
229	#97	—	106	8	no	—
230	C₂⁴	—	53	8	no	—
231	C₂⁴	—	53	4	no	—
232	C₂⁴	—	106	4	no	—
233	C₂⁴	—	106	8	no	—
234	C₂⁴	—	106	4	no	—
235	C₂⁴	—	106	8	no	—
236	C₂⁴	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×D₄	—	106	16	no	—
238	C₂×D₄	—	106	32	no	—
239	C₂×D₄	—	106	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
254	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#11719921	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₂×C₈	—	53	8	no	—
268	C₂×C₈	—	106	16	no	—
269	C₂×C₈	—	106	4	no	—
270	C₂×C₈	—	106	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
273	C₄²	#11719921	1	8	yes	—
274	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
276	C₂³	—	53	8	no	—
277	C₂³	—	106	4	no	—
278	C₂³	—	106	8	no	—
279	C₂³	—	106	16	no	—
280	C₂³	—	106	4	no	—
281	C₂³	—	106	8	no	—
282	C₂³	—	106	32	no	—
283	C₂³	—	212	8	no	—
284	C₂³	—	212	8	no	—
285	C₂³	—	212	16	no	—
286	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
287	C₂³	#13133179	1	4	yes	—
288	C₂³	M₁₆×D₅₃	1	4	yes	—
289	C₂³	#13133223	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	D₄	—	106	32	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	106	4	no	—
297	C₂×C₄	—	106	8	no	—
298	C₂×C₄	—	212	8	no	—
299	C₂×C₄	—	212	16	no	—
300	C₂×C₄	—	212	8	no	—
301	C₂×C₄	—	212	4	no	—
302	C₂×C₄	—	212	4	no	—
303	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#13133179	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#13133192	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₈	—	106	8	no	—
316	C₂²	—	106	16	no	—
317	C₂²	—	106	8	no	—
318	C₂²	—	212	8	no	—
319	C₂²	—	212	4	no	—
320	C₂²	—	212	32	no	—
321	C₂²	—	212	4	no	—
322	C₂²	#16810524	1	4	yes	—
323	C₂²	#16810586	1	4	yes	—
324	C₂²	#16810589	1	4	yes	—
325	C₂²	#16810693	1	16	yes	—
326	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#13133179	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×M₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×#13133223	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	212	4	no	—
333	C₄	#16810524	1	4	yes	—
334	C₄	C₂×#13133192	1	2	yes	—
335	C₄	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	212	8	no	—
338	C₂	#20275512	1	8	yes	direct product factor
339	C₂	C₂×#16810524	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#16810586	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂×#16810589	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#16810693	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃
commutator	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄
prime radical	C₂³×D₂₁₂	C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#1955
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#13133129	C₂	semidirect
3. C₂²×#13133128	C₂	semidirect
4. #20275512	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
16. C₂×#13133129	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133128	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
36. C₂²×#88322	D₄	semidirect
103. C₂×#88322	C₂×D₄	semidirect
167. C₂²×C₄⋊C₈	D₅₃	semidirect
171. C₂×C₅₃	#1955	semidirect
189. C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	semidirect
194. C₅₃	C₂×#1955	semidirect
338. C₂	#20275512	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₂₁₂	2
C₂²×#13133129	2
C₂²×#13133128	2
#20275512	2
C₂²×C₄⋊C₈×C₅₃	2
C₂×#1955	53

Subgroups — C2×#20275512 #27387675

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20275512 #27387675