Subgroups — #27387682

Order 13568.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810590	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂²×C₄×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275510	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₅₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
8	#16810647	—	2	4	no	—
9	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
10	#16810590	—	2	16	no	—
11	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	16	yes	—
12	C₂×C₄×#88322	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₅₃×#532	—	2	4	no	—
16	C₅₃×#532	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#127×C₅₃	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#124×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#121×C₅₃	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#11719917	—	2	8	no	—
24	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
25	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
26	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
27	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	complemented
28	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
30	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
31	C₂²⋊#88322	—	2	32	no	—
32	C₄×#88322	—	2	8	no	—
33	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
34	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
35	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
36	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
37	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
45	#127×C₅₃	—	2	4	no	—
46	#124×C₅₃	—	2	8	no	—
47	#121×C₅₃	—	2	16	no	—
48	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
60	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
61	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
87	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	#11719917	—	4	8	no	—
92	C₂×#88322	—	2	16	no	—
93	C₂×#88322	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂×#88322	—	2	8	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	16	no	—
102	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
106	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
107	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
108	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#131	1	8	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
128	#88322	—	2	8	no	—
129	#88322	—	4	4	no	—
130	#21187	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	C₂×#131	1	4	yes	—
140	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
143	C₄×C₅₃	#408	1	8	yes	complemented
144	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
145	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
147	C₂×#532	D₅₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂×#423	—	53	1	no	—
149	C₂×#408	—	53	4	no	—
150	C₂²×C₄×C₈	—	53	1	no	—
151	#1954	—	53	8	no	—
152	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
154	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	C₂×#408	1	2	yes	—
156	C₂×C₅₃	#2931	1	4	yes	—
157	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
158	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
159	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
160	#532	—	2	4	no	—
161	#532	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
163	C₂×#127	Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂×#124	Dic₅₃	1	2	yes	—
165	C₂×#121	Dic₅₃	1	4	yes	—
166	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
168	#423	—	106	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
170	#408	—	106	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	16	no	—
172	C₂×C₄×C₈	—	53	4	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	106	4	no	—
174	C₅₃	#21187	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
175	C₂×#41	—	2	8	no	—
176	C₂×#41	—	2	8	no	—
177	C₂×#41	—	2	4	no	—
178	C₂×#41	—	2	4	no	—
179	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
180	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
181	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
182	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
183	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
184	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
185	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
187	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
188	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
190	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
191	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
192	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
194	#127	—	2	4	no	—
195	#124	—	2	8	no	—
196	#121	—	2	16	no	—
197	C₄×D₄	—	2	8	no	—
198	C₄×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	106	32	no	—
208	C₄×C₈	—	106	8	no	—
209	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	4	16	no	—
212	#41	—	4	8	no	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	16	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	M₁₆	—	212	8	no	—
238	C₂×C₈	—	53	8	no	—
239	C₂×C₈	—	106	16	no	—
240	C₂×C₈	—	106	4	no	—
241	C₂×C₈	—	106	4	no	—
242	C₂×C₈	—	106	8	no	—
243	C₂×C₈	—	106	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
246	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	16	no	—
254	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
255	C₂³	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
256	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
257	Q₈	—	4	8	no	—
258	D₄	—	4	16	no	—
259	D₄	—	4	8	no	—
260	D₄	—	4	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	16	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	#13133188	1	8	yes	—
273	C₂×C₄	#13133204	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	#13133224	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
280	C₈	—	106	8	no	—
281	C₈	—	212	4	no	—
282	C₂²	—	2	4	no	—
283	C₂²	—	2	8	no	—
284	C₂²	—	4	8	no	—
285	C₂²	—	4	16	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	#16810526	1	4	yes	—
288	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
290	C₂²	C₂×#13133224	1	4	yes	—
291	C₄	—	2	4	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	#16810526	1	4	yes	—
294	C₄	#16810590	1	8	yes	complemented
295	C₄	C₂×#13133188	1	2	yes	—
296	C₄	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
298	C₂	—	2	4	no	—
299	C₂	—	8	4	no	—
300	C₂	C₂×#16810526	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₂×#16810590	1	2	yes	—
302	C₂	#20283427	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×#532	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21187
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810647	C₂	semidirect
2. C₂×#16810590	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×#88322	C₂	semidirect
4. #20275510	C₂	semidirect
27. C₂²×#88322	D₄	semidirect
143. C₄×C₅₃	#408	semidirect
174. C₅₃	#21187	semidirect
294. C₄	#16810590	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810647	2
C₂×#16810590	2
C₂²×C₄×#88322	2
#20275510	2
C₂×C₅₃×#532	2
#21187	53