Subgroups — #27387753

Order 13568.

1622 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810620	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275531	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#97×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719945	C₂²	1	2	yes	—
9	#16811173	—	2	4	no	—
10	#16811173	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
16	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810620	—	2	16	no	—
18	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#13133139	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810483	—	2	2	no	—
23	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#97×C₅₃	—	2	4	no	—
27	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#11719945	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719945	—	2	8	no	—
31	C₂×#11719945	—	2	8	no	—
32	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
38	#13133217	—	2	2	no	—
39	#13133217	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	#13133214	—	2	2	no	—
41	#13133214	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	#13133205	—	2	4	no	—
43	#13133205	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	#13133191	—	2	16	no	—
45	C₄×D₂₁₂	—	2	16	no	—
46	#13133176	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
53	#13133142	—	2	16	no	—
54	#13133139	—	2	16	no	—
55	#13133124	—	2	4	no	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	#11719945	—	2	32	no	—
87	#11719945	—	4	16	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	16	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
111	#11719921	—	2	16	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
139	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
145	D₂₁₂	—	2	8	no	—
146	D₂₁₂	—	4	16	no	—
147	D₂₁₂	—	4	4	no	—
148	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
149	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
152	#21199	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
157	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
161	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
162	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
168	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	4	4	no	—
171	Dic₅₃	—	8	4	no	—
172	C₂×#532	—	53	1	no	—
173	C₂×#416	—	53	4	no	—
174	C₂²×#97	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
175	#2285	—	53	1	no	—
176	#1961	—	53	2	no	—
177	#1960	—	53	2	no	—
178	#1959	—	53	4	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#2896	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	#3135	1	2	yes	—
183	C₂×C₅₃	#3150	1	2	yes	—
184	D₅₃	—	8	4	no	—
185	C₂²×#41	—	53	2	no	—
186	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	#532	—	53	8	no	—
188	#532	—	106	4	no	—
189	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
190	C₂×#127	—	53	1	no	—
191	C₂×#124	—	53	2	no	—
192	C₂×#121	—	106	2	no	—
193	C₂×C₄×D₄	—	106	2	no	—
194	C₂×#117	—	53	2	no	—
195	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	#416	—	106	16	no	—
197	C₂×#103	—	53	8	no	—
198	C₂×#102	—	53	8	no	—
199	C₂×#97	—	2	4	no	—
200	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	#384	—	53	2	no	—
203	#382	—	53	2	no	—
204	#380	—	106	2	no	—
205	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
206	C₅₃	#21199	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂×#41	—	53	8	no	—
208	C₂×#41	—	106	4	no	—
209	C₂×#41	—	106	8	no	—
210	C₂×#41	—	106	8	no	—
211	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
212	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
213	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
215	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
216	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
217	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
221	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
222	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
223	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
224	#127	—	53	4	no	—
225	#127	—	106	2	no	—
226	#124	—	53	8	no	—
227	#124	—	106	4	no	—
228	#121	—	106	16	no	—
229	C₄×D₄	—	106	16	no	—
230	#117	—	106	8	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
237	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
238	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	#103	—	106	16	no	—
243	#102	—	106	16	no	—
244	#97	—	2	4	no	—
245	#97	—	2	4	no	—
246	#95	—	106	4	no	—
247	C₂⁴	—	106	2	no	—
248	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	#41	—	106	32	no	—
250	#41	—	212	16	no	—
251	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
255	C₂×D₄	—	53	4	no	—
256	C₂×D₄	—	106	8	no	—
257	C₂×D₄	—	106	8	no	—
258	C₂×D₄	—	106	2	no	—
259	C₂×D₄	—	106	4	no	—
260	C₂×D₄	—	106	4	no	—
261	C₂×D₄	—	212	8	no	—
262	C₂×D₄	—	212	4	no	—
263	C₂×D₄	—	212	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
270	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	—	2	16	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
288	C₄²	—	212	4	no	—
289	C₄²	#11719921	1	8	yes	—
290	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	106	4	no	—
296	C₂³	—	212	2	no	—
297	C₂³	—	212	2	no	—
298	C₂³	—	212	8	no	—
299	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
300	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
301	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	106	8	no	—
304	Q₈	—	212	4	no	—
305	D₄	—	106	8	no	—
306	D₄	—	212	16	no	—
307	D₄	—	212	16	no	—
308	D₄	—	212	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	—	212	8	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	16	no	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	#13133191	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
329	C₈	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	424	4	no	—
334	C₂²	—	424	4	no	—
335	C₂²	—	212	8	no	—
336	C₂²	—	212	4	no	—
337	C₂²	#16810525	1	4	yes	—
338	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16811423	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	424	4	no	—
345	C₄	—	212	4	no	—
346	C₄	#16810525	1	4	yes	—
347	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#13133191	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	424	4	no	—
351	C₂	C₂×#16810525	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20283235	1	2	yes	—
353	C₂	#20285061	1	2	yes	—
354	C₂	#20285161	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×#97×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#16811173	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#97	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21199
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#97

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810620	C₂	semidirect
3. #20277122	C₂	semidirect
4. #20275539	C₂	semidirect
5. #20275535	C₂	semidirect
6. #20275531	C₂	semidirect
7. C₂²×#97×C₅₃	C₂	semidirect
10. #16811173	C₄	semidirect
60. C₂²×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
174. C₂²×#97	D₅₃	semidirect
206. C₅₃	#21199	semidirect
220. C₂²×C₈	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811173	2
C₂×#16810620	2
#20277122	2
#20275539	2
#20275535	2
#20275531	2
C₂²×#97×C₅₃	2
#21199	53