Subgroups — #27387768

Order 13568.

1638 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810624	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×C₄×#11719917	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275527	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
10	#16810624	—	2	16	no	—
11	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×#13133138	C₂²	1	8	yes	—
13	C₄×#11719917	—	2	4	no	—
14	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810489	—	2	2	no	—
17	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133124	—	2	2	no	—
20	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₅₃×#532	—	2	4	no	—
22	C₅₃×#532	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂×C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
31	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
32	C₂×#11719917	D₄	1	8	yes	complemented
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	#13133141	—	2	16	no	—
38	#13133138	—	2	16	no	—
39	#13133128	—	2	4	no	—
40	C₄×#88322	—	2	4	no	—
41	#13133124	—	2	4	no	—
42	#13133124	—	2	4	no	—
43	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
45	C₂×#41×C₅₃	—	2	8	no	—
46	C₂×#41×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
57	#127×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
59	#124×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#121×C₅₃	—	2	16	no	—
61	C₄×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	#41×C₅₃	—	2	32	no	—
72	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
73	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	4	8	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	#11719917	—	2	16	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂×#88322	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
126	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
127	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
128	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
129	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
130	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	8	8	no	—
152	#88322	—	2	8	no	—
153	#21201	—	53	1	no	maximal, Sylow
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
166	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
169	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
172	Dic₅₃	—	8	4	no	—
173	C₂×#532	D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×#417	—	53	4	no	—
175	C₂×C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
176	C₂×#382	—	53	1	no	—
177	#1961	—	53	2	no	—
178	#1960	—	53	2	no	—
179	#1958	—	53	4	no	—
180	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
182	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#2896	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	#3142	1	2	yes	—
185	C₂×C₅₃	#3153	1	2	yes	—
186	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
187	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
188	#532	—	2	4	no	—
189	#532	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
190	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×#121	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
196	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	#417	—	106	16	no	—
198	C₂×#103	—	53	8	no	—
199	C₂×#102	—	53	8	no	—
200	C₄×M₁₆	—	106	4	no	—
201	C₂×#97	—	53	2	no	—
202	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
203	#382	—	53	2	no	—
204	#382	—	53	2	no	—
205	#382	—	106	2	no	—
206	C₂×#95	—	106	2	no	—
207	C₅₃	#21201	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂×#41	—	2	4	no	—
209	C₂×#41	—	2	8	no	—
210	C₂×#41	—	2	8	no	—
211	C₂×#41	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	—
212	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
218	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×M₁₆	—	53	8	no	—
221	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
224	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
225	C₄⋊Q₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	complemented
226	#127	—	2	2	no	—
227	#127	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	complemented
228	#124	—	2	4	no	—
229	#124	C₂×Dic₅₃	1	8	yes	complemented
230	#121	—	2	16	no	—
231	C₄×D₄	—	2	16	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
238	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	#103	—	106	16	no	—
243	#102	—	106	16	no	—
244	#97	—	106	4	no	—
245	C₄×C₈	—	106	4	no	—
246	#95	—	106	4	no	—
247	#95	—	106	4	no	—
248	C₂⁴	—	2	2	no	—
249	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	2	32	no	—
251	#41	—	4	16	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
273	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
274	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	M₁₆	—	106	16	no	—
283	C₂×C₈	—	53	8	no	—
284	C₂×C₈	—	106	4	no	—
285	C₂×C₈	—	106	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
290	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
291	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
301	C₂³	#13133204	1	2	yes	—
302	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	2	8	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	16	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	424	8	no	—
318	C₂×C₄	—	212	4	no	—
319	C₂×C₄	—	212	8	no	—
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#13133188	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
331	C₈	—	106	8	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	#16810526	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#16811421	1	4	yes	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	424	4	no	—
348	C₄	#16810526	1	4	yes	—
349	C₄	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
350	C₄	C₂×#13133188	1	2	yes	—
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	—	8	4	no	—
353	C₂	C₂×#16810526	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20283234	1	2	yes	—
355	C₂	#20285115	1	2	yes	—
356	C₂	#20285183	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×#532	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21201
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810624	C₂	semidirect
2. C₂×C₄×#11719917	C₂	semidirect
3. C₂×#16810489	C₂	semidirect
4. #20275540	C₂	semidirect
5. #20275536	C₂	semidirect
6. #20275527	C₂	semidirect
22. C₅₃×#532	C₄	semidirect
32. C₂×#11719917	D₄	semidirect
55. C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
57. #127×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
59. #124×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
189. #532	Dic₅₃	semidirect
207. C₅₃	#21201	semidirect
225. C₄⋊Q₈	C₂×Dic₅₃	semidirect
227. #127	C₂×Dic₅₃	semidirect
229. #124	C₂×Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810624	2
C₂×C₄×#11719917	2
C₂×#16810489	2
#20275540	2
#20275536	2
#20275527	2
C₂×C₅₃×#532	2
#21201	53