Subgroups — #27387779

Order 13568.

2246 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810629	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275539	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275521	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	—	2	2	no	—
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
10	C₂×#13133214	—	2	4	no	—
11	C₂×#13133214	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810629	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133139	C₂²	1	16	yes	complemented
17	#16810493	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#16810489	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16810483	—	2	2	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
21	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
24	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	16	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	4	16	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
37	#13133214	—	2	16	no	—
38	#13133214	—	2	4	no	—
39	#13133214	—	2	4	no	—
40	#13133214	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	#13133214	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	#13133176	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	#13133139	—	2	32	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	4	16	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	64	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
92	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	8	yes	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	16	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
97	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
135	D₂₁₂	—	2	16	no	—
136	D₂₁₂	—	4	32	no	—
137	D₂₁₂	—	4	8	no	—
138	D₂₁₂	—	4	16	no	—
139	D₂₁₂	—	4	32	no	—
140	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
141	#21203	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
146	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
150	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
152	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
153	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
154	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
157	C₄×C₅₃	#418	1	8	yes	complemented
158	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
160	Dic₅₃	—	8	4	no	—
161	C₂²×#127	—	53	1	no	—
162	C₂×#418	—	53	4	no	—
163	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
164	#2285	—	53	1	no	—
165	#1961	—	53	4	no	—
166	#1957	—	53	4	no	—
167	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	C₂×#418	1	2	yes	—
170	C₂×C₅₃	#3138	1	2	yes	—
171	C₂×C₅₃	#3151	1	2	yes	—
172	D₅₃	—	8	8	no	—
173	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
174	C₂³×D₄	—	106	2	no	—
175	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
176	C₂×#127	—	53	8	no	—
177	C₂×#127	—	53	2	no	—
178	C₂×#127	—	53	2	no	—
179	C₂×#127	—	106	2	no	—
180	C₂×#127	—	106	4	no	—
181	C₂×#117	—	53	2	no	—
182	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	#418	—	106	16	no	—
184	C₂×#102	—	53	16	no	—
185	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
186	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
187	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
188	#384	—	53	2	no	—
189	#382	—	53	2	no	—
190	#380	—	106	2	no	—
191	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
192	C₅₃	#21203	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂⁵	—	106	2	no	—
194	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
195	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
196	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
197	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
198	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
199	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
200	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
201	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
202	C₂²×D₄	—	106	16	no	—
203	C₂²×D₄	—	212	16	no	—
204	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
207	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
208	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
210	#127	—	53	8	no	—
211	#127	—	53	8	no	—
212	#127	—	106	4	no	—
213	#127	—	106	4	no	—
214	#127	—	106	16	no	—
215	#117	—	106	8	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#102	—	106	32	no	—
226	#97	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	—	2	4	no	—
228	#95	—	106	4	no	—
229	C₂⁴	—	106	8	no	—
230	C₂⁴	—	106	4	no	—
231	C₂⁴	—	212	16	no	—
232	C₂⁴	—	212	4	no	—
233	C₂⁴	—	212	4	no	—
234	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
235	C₂×D₄	—	53	8	no	—
236	C₂×D₄	—	106	16	no	—
237	C₂×D₄	—	106	16	no	—
238	C₂×D₄	—	106	8	no	—
239	C₂×D₄	—	106	32	no	—
240	C₂×D₄	—	106	4	no	—
241	C₂×D₄	—	106	8	no	—
242	C₂×D₄	—	106	8	no	—
243	C₂×D₄	—	212	16	no	—
244	C₂×D₄	—	212	64	no	—
245	C₂×D₄	—	212	16	no	—
246	C₂×D₄	—	212	4	no	—
247	C₂×D₄	—	212	4	no	—
248	C₂×D₄	—	212	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
251	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	M₁₆	—	2	16	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	complemented
264	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
267	C₄²	—	212	4	no	—
268	C₄²	#11719921	1	8	yes	—
269	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	106	8	no	—
275	C₂³	—	424	16	no	—
276	C₂³	—	424	16	no	—
277	C₂³	—	212	32	no	—
278	C₂³	—	212	16	no	—
279	C₂³	—	212	4	no	—
280	C₂³	—	212	16	no	—
281	C₂³	—	212	4	no	—
282	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
283	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
284	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
286	D₄	—	106	16	no	—
287	D₄	—	212	32	no	—
288	D₄	—	212	16	no	—
289	D₄	—	212	8	no	—
290	D₄	—	212	32	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	212	8	no	—
294	C₂×C₄	—	212	4	no	—
295	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	#13133191	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#13133245	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	8	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	424	32	no	—
312	C₂²	—	424	8	no	—
313	C₂²	—	424	8	no	—
314	C₂²	—	212	16	no	—
315	C₂²	—	212	8	no	—
316	C₂²	#16810525	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#13133245	1	4	yes	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	424	4	no	—
323	C₄	#16810525	1	4	yes	—
324	C₄	#16810629	1	8	yes	complemented
325	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
326	C₄	C₂×#13133191	1	2	yes	—
327	C₂	—	2	4	no	—
328	C₂	—	424	8	no	—
329	C₂	C₂×#16810525	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₂×#16810629	1	2	yes	—
331	C₂	#20285090	1	2	yes	—
332	C₂	#20285167	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133214	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21203
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810629	C₂	semidirect
3. #20277122	C₂	semidirect
4. #20275539	C₂	semidirect
5. #20275521	C₂	semidirect
6. C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	C₂	semidirect
11. C₂×#13133214	C₄	semidirect
16. C₂×#13133139	C₂²	semidirect
17. #16810493	C₂²	semidirect
18. #16810489	C₂²	semidirect
24. C₂×#97×C₅₃	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
53. C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	semidirect
96. C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
157. C₄×C₅₃	#418	semidirect
163. C₂×C₄×M₁₆	D₅₃	semidirect
186. C₂×#97	C₂×D₅₃	semidirect
187. C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	semidirect
192. C₅₃	#21203	semidirect
208. C₂×M₁₆	D₂₁₂	semidirect
263. C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	semidirect
324. C₄	#16810629	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133214	2
C₂×#16810629	2
#20277122	2
#20275539	2
#20275521	2
C₂×C₄×M₁₆×C₅₃	2
#21203	53