Subgroups — C₂×#20275589 #27387926

Order 13568.

2006 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#13133137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#13133127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810524	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275589	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
6	C₂²×#106×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×D₄₂₄	—	2	4	no	—
9	C₂²×D₄₂₄	—	2	4	no	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719921	—	2	4	no	—
14	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133137	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂×#13133127	—	2	4	no	—
18	C₂×#13133127	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#16810524	—	2	4	no	—
20	#16810524	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#106×C₅₃	—	2	4	no	—
24	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
35	C₂×D₄₂₄	—	2	32	no	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
38	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
39	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
40	C₂²×#88322	—	2	2	no	—
41	C₂²×#88322	D₄	1	4	yes	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
44	C₂×#11719921	—	4	16	no	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133137	—	2	16	no	—
50	#13133127	—	2	8	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	#106×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
103	#11719921	—	4	32	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×#88322	—	2	8	no	—
108	C₂×#88322	—	2	2	no	—
109	C₂×#88322	—	2	2	no	—
110	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	D₄₂₄	—	2	32	no	—
112	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	8	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
146	D₂₁₂	—	2	8	no	—
147	D₂₁₂	—	2	8	no	—
148	D₂₁₂	—	4	4	no	—
149	D₂₁₂	—	4	4	no	—
150	D₂₁₂	—	4	16	no	—
151	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
152	#88322	—	2	4	no	—
153	C₂×#1972	—	53	1	no	maximal, Sylow
154	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
155	C₂²×C₅₃	#442	1	8	yes	—
156	C₂²×C₅₃	#469	1	8	yes	—
157	C₂²×C₅₃	#496	1	8	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
162	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
169	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
174	Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂³×D₈	—	53	1	no	—
176	C₂²×#106	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
177	C₂²×#102	—	53	2	no	—
178	C₂²×#97	—	53	1	no	—
179	C₂×#390	—	53	2	no	—
180	#1972	—	53	8	no	—
181	C₂×C₅₃	#1972	1	8	yes	complemented
182	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	C₂×#442	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	C₂×#469	1	2	yes	—
185	C₂×C₅₃	C₂×#496	1	2	yes	—
186	D₅₃	—	8	8	no	—
187	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
188	C₂²×D₈	—	53	8	no	—
189	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
190	C₂²×D₈	—	106	4	no	—
191	C₂²×D₈	—	106	4	no	—
192	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
193	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
196	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
197	C₂×#106	—	2	4	no	—
198	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
199	C₂×#102	—	53	8	no	—
200	C₂×#102	—	106	8	no	—
201	C₂×#97	—	53	4	no	—
202	C₂×#97	—	106	4	no	—
203	#390	—	53	8	no	—
204	#390	—	106	4	no	—
205	C₅₃	C₂×#1972	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂⁵	—	106	2	no	—
207	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
208	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
209	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
210	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
211	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
212	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
213	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
214	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
215	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
217	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×D₈	—	53	16	no	—
219	C₂×D₈	—	106	8	no	—
220	C₂×D₈	—	106	8	no	—
221	C₂×D₈	—	106	32	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
223	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
224	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
225	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
226	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
227	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
228	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	16	no	—
236	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
237	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
240	#106	—	2	8	no	—
241	#102	—	106	16	no	—
242	#97	—	106	8	no	—
243	C₂⁴	—	106	8	no	—
244	C₂⁴	—	106	4	no	—
245	C₂⁴	—	212	4	no	—
246	C₂⁴	—	212	4	no	—
247	C₂⁴	—	212	8	no	—
248	C₂⁴	—	212	8	no	—
249	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×D₄	—	53	8	no	—
251	C₂×D₄	—	106	16	no	—
252	C₂×D₄	—	106	16	no	—
253	C₂×D₄	—	106	8	no	—
254	C₂×D₄	—	106	4	no	—
255	C₂×D₄	—	106	4	no	—
256	C₂×D₄	—	106	4	no	—
257	C₂×D₄	—	106	4	no	—
258	C₂×D₄	—	106	4	no	—
259	C₂×D₄	—	212	4	no	—
260	C₂×D₄	—	212	8	no	—
261	C₂×D₄	—	212	8	no	—
262	C₂×D₄	—	212	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	D₈	—	106	32	no	—
278	C₂×C₈	—	53	4	no	—
279	C₂×C₈	—	106	8	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	#11719921	1	16	yes	complemented
283	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	212	32	no	—
290	C₄²	—	106	4	no	—
291	C₄²	—	106	2	no	—
292	C₄²	—	106	2	no	—
293	C₂³	—	106	8	no	—
294	C₂³	—	424	8	no	—
295	C₂³	—	424	8	no	—
296	C₂³	—	424	16	no	—
297	C₂³	—	212	16	no	—
298	C₂³	—	212	4	no	—
299	C₂³	—	212	8	no	—
300	C₂³	—	212	8	no	—
301	C₂³	—	212	4	no	—
302	C₂³	—	212	32	no	—
303	C₂³	#13133179	1	2	yes	—
304	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
305	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
306	C₂³	#13133244	1	8	yes	—
307	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	D₄	—	106	8	no	—
309	D₄	—	106	8	no	—
310	D₄	—	212	16	no	—
311	D₄	—	212	4	no	—
312	D₄	—	212	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	—	106	4	no	—
317	C₂×C₄	—	106	8	no	—
318	C₂×C₄	—	212	8	no	—
319	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133179	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	106	4	no	—
333	C₈	C₂×#11719921	1	8	yes	complemented
334	C₂²	—	424	32	no	—
335	C₂²	—	424	8	no	—
336	C₂²	—	424	4	no	—
337	C₂²	—	424	4	no	—
338	C₂²	—	212	16	no	—
339	C₂²	—	212	8	no	—
340	C₂²	#16810524	1	4	yes	—
341	C₂²	#16810734	1	8	yes	—
342	C₂²	#16810877	1	8	yes	—
343	C₂²	#16811009	1	8	yes	—
344	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#13133244	1	4	yes	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	—	212	4	no	—
350	C₄	#16810524	1	4	yes	—
351	C₄	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
354	C₄	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	424	8	no	—
356	C₂	#20275589	1	8	yes	direct product factor
357	C₂	C₂×#16810524	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#16810734	1	2	yes	—
359	C₂	C₂×#16810877	1	2	yes	—
360	C₂	C₂×#16811009	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×#106×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄₂₄	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#106	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#1972
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#106

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#13133137	C₂	semidirect
3. C₂²×#13133127	C₂	semidirect
4. C₂×#16810524	C₂	semidirect
5. #20275589	C₂	direct (N × H)
6. C₂²×#106×C₅₃	C₂	semidirect
10. C₂²×D₄₂₄	C₄	semidirect
16. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133127	C₂²	semidirect
20. #16810524	C₂²	semidirect
24. C₂×#106×C₅₃	C₂²	semidirect
38. C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	semidirect
96. C₂×C₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
151. C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
176. C₂²×#106	D₅₃	semidirect
181. C₂×C₅₃	#1972	semidirect
198. C₂×#106	C₂×D₅₃	semidirect
205. C₅₃	C₂×#1972	semidirect
282. C₂×C₈	#11719921	semidirect
333. C₈	C₂×#11719921	semidirect
356. C₂	#20275589	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×D₄₂₄	2
C₂²×#13133137	2
C₂²×#13133127	2
C₂×#16810524	2
#20275589	2
C₂²×#106×C₅₃	2
C₂×#1972	53

Subgroups — C2×#20275589 #27387926

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20275589 #27387926