Subgroups — #27387974

Order 13568.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810631	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20277299	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275584	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275574	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
10	C₂²×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810631	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133140	C₂²	1	8	yes	—
18	#16810578	—	2	4	no	—
19	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810529	—	2	4	no	—
22	#16810528	C₂²	1	8	yes	—
23	#16810484	—	2	4	no	—
24	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#427	—	2	4	no	—
27	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	—	2	32	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719917	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133176	—	2	2	no	—
50	#13133176	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133140	—	2	16	no	—
55	#13133127	—	2	4	no	—
56	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
57	#13133124	—	2	16	no	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
65	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#107×C₅₃	—	2	4	no	—
70	#106×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	#11719917	—	2	8	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
147	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
151	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	#88322	—	2	4	no	—
154	#21232	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	#578	1	4	yes	—
163	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
164	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
169	Dic₅₃	—	4	4	no	—
170	Dic₅₃	—	4	8	no	—
171	C₂³×Q₁₆	—	53	1	no	—
172	C₂×#427	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×#419	—	53	2	no	—
174	C₂×#405	—	53	1	no	—
175	#2310	—	53	2	no	—
176	#1971	—	53	4	no	—
177	#1969	—	53	4	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
179	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#2950	1	2	yes	—
181	C₂×C₅₃	#3059	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	#3156	1	2	yes	—
183	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
184	C₂²×Q₁₆	—	53	8	no	—
185	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
186	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
187	C₂²×Q₁₆	—	106	4	no	—
188	C₂²×Q₁₆	—	106	4	no	—
189	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
190	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×#117	—	53	1	no	—
192	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	#427	—	2	4	no	—
194	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	#419	—	106	8	no	—
197	C₂×#103	—	53	8	no	—
198	#405	—	106	4	no	—
199	C₂×#97	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
201	#391	—	53	8	no	—
202	#391	—	106	4	no	—
203	#381	—	106	4	no	—
204	C₅₃	#21232	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
206	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
207	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
208	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
209	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
210	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
216	C₂×Q₁₆	—	53	8	no	—
217	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
220	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	106	32	no	—
222	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
223	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
224	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
226	C₂²×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
227	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
228	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#117	—	2	4	no	—
232	#117	—	2	4	no	—
233	#117	—	106	2	no	—
234	#117	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
241	#107	—	2	4	no	—
242	#106	—	2	4	no	—
243	#103	—	106	16	no	—
244	#97	—	106	4	no	—
245	C₄×C₈	—	106	4	no	—
246	#95	—	106	16	no	—
247	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
258	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	Q₁₆	—	106	16	no	—
276	Q₁₆	—	106	16	no	—
277	M₁₆	—	106	8	no	—
278	C₂×C₈	—	53	4	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	#11719921	1	16	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₄²	—	106	2	no	—
295	C₄²	—	106	2	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	#13133179	1	2	yes	—
298	C₂³	#13133192	1	2	yes	—
299	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	106	8	no	—
302	Q₈	—	106	8	no	—
303	Q₈	—	212	16	no	—
304	Q₈	—	212	4	no	—
305	Q₈	—	212	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	106	8	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	8	no	—
311	C₂×C₄	—	212	16	no	—
312	C₂×C₄	—	212	4	no	—
313	C₂×C₄	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#13133179	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133192	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	106	4	no	—
328	C₈	C₂×#11719921	1	4	yes	—
329	C₈	C₂×#11719921	1	4	yes	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	#16810524	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811437	1	4	yes	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	—	212	8	no	—
340	C₄	—	212	4	no	—
341	C₄	#16810524	1	4	yes	—
342	C₄	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	C₂×#16810524	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20283582	1	2	yes	—
349	C₂	#20284371	1	2	yes	—
350	C₂	#20285210	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#427	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#427	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21232
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#427

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #20275584	C₂	semidirect
6. #20275574	C₂	semidirect
11. C₂²×Dic₂₁₂	C₄	semidirect
204. C₅₃	#21232	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₁₂	2
C₂×#16810631	2
C₂×#16810578	2
#20277299	2
#20275584	2
#20275574	2
C₂×C₅₃×#427	2
#21232	53