Subgroups — #27388174

Order 13568.

2254 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810627	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275642	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₄×#117×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×D₂₁₂	—	2	2	no	—
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133214	—	2	4	no	—
10	C₂×#13133214	—	2	1	no	—
11	C₂×#13133214	—	2	1	no	—
12	C₂×#13133214	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#13133214	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810647	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#16810627	—	2	16	no	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
22	C₅₃×#376	—	2	1	no	—
23	C₄³×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
25	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	16	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	4	16	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#11719917	—	2	8	no	—
36	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
38	#13133214	—	2	8	no	—
39	#13133214	—	2	8	no	—
40	#13133214	—	2	8	no	—
41	#13133214	C₂×C₄	1	16	yes	—
42	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
43	#13133137	—	2	32	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
47	#117×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	4	16	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	64	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
87	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	8	yes	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	4	8	no	—
93	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	#11719917	—	4	8	no	—
98	C₂×#88322	—	2	8	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	8	32	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
126	D₂₁₂	—	2	16	no	—
127	D₂₁₂	—	4	32	no	—
128	D₂₁₂	—	4	4	no	—
129	D₂₁₂	—	4	4	no	—
130	D₂₁₂	—	4	16	no	—
131	D₂₁₂	—	4	32	no	—
132	#88322	—	4	4	no	—
133	#21260	—	53	1	no	maximal, Sylow
134	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
140	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
143	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
144	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
146	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
147	C₄×C₅₃	#418	1	8	yes	complemented
148	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
149	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×#127	—	53	1	no	—
152	C₂×#423	—	53	1	no	—
153	C₂×#418	—	53	4	no	—
154	C₄×#117	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
155	#1982	—	53	8	no	—
156	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	C₂×#418	1	2	yes	—
159	C₂×C₅₃	#3038	1	4	yes	—
160	D₅₃	—	8	8	no	—
161	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
162	C₂³×D₄	—	106	2	no	—
163	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
164	C₂×#127	—	53	8	no	—
165	C₂×#127	—	53	4	no	—
166	C₂×#127	—	106	4	no	—
167	C₂×#127	—	106	1	no	—
168	C₂×#127	—	106	1	no	—
169	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	#423	—	106	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
173	#418	—	106	16	no	—
174	C₂×#102	—	53	16	no	—
175	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
176	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	#376	—	2	1	no	—
178	C₄³	—	2	1	no	—
179	C₅₃	#21260	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
180	C₂⁵	—	106	2	no	—
181	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
182	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
183	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
184	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
185	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
186	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
187	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
188	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
189	C₂²×D₄	—	106	16	no	—
190	C₂²×D₄	—	212	16	no	—
191	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
194	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
195	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
196	#127	—	53	16	no	—
197	#127	—	106	8	no	—
198	#127	—	106	8	no	—
199	#127	—	106	8	no	—
200	#117	—	2	4	no	—
201	#117	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
212	#102	—	106	32	no	—
213	#95	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	106	8	no	—
215	C₂⁴	—	106	4	no	—
216	C₂⁴	—	212	16	no	—
217	C₂⁴	—	212	8	no	—
218	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×D₄	—	53	8	no	—
220	C₂×D₄	—	106	16	no	—
221	C₂×D₄	—	106	16	no	—
222	C₂×D₄	—	106	8	no	—
223	C₂×D₄	—	106	32	no	—
224	C₂×D₄	—	106	8	no	—
225	C₂×D₄	—	106	4	no	—
226	C₂×D₄	—	106	8	no	—
227	C₂×D₄	—	212	16	no	—
228	C₂×D₄	—	212	64	no	—
229	C₂×D₄	—	212	8	no	—
230	C₂×D₄	—	212	8	no	—
231	C₂×D₄	—	212	8	no	—
232	C₂×D₄	—	212	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	#11719921	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	212	8	no	—
245	C₂×C₈	—	106	8	no	—
246	C₂×C₈	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	complemented
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	8	no	—
251	C₄²	—	4	8	no	—
252	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
253	C₄²	#11719921	1	4	yes	—
254	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	106	8	no	—
258	C₂³	—	424	32	no	—
259	C₂³	—	212	32	no	—
260	C₂³	—	212	16	no	—
261	C₂³	—	212	8	no	—
262	C₂³	—	212	16	no	—
263	C₂³	C₂×#11719921	1	2	yes	—
264	C₂³	#13133191	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	106	16	no	—
267	D₄	—	212	32	no	—
268	D₄	—	212	16	no	—
269	D₄	—	212	32	no	—
270	D₄	—	212	4	no	—
271	D₄	—	212	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	16	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	#13133191	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	#13133205	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#13133214	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#13133242	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
288	C₈	—	212	4	no	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	424	32	no	—
292	C₂²	—	424	16	no	—
293	C₂²	—	212	16	no	—
294	C₂²	—	212	8	no	—
295	C₂²	#16810525	1	4	yes	—
296	C₂²	C₂²×#11719921	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×#13133191	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂×#13133242	1	4	yes	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	4	8	no	—
301	C₄	#16810525	1	4	yes	—
302	C₄	#16810627	1	8	yes	complemented
303	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
304	C₄	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	2	4	no	—
307	C₂	—	424	8	no	—
308	C₂	C₂×#16810525	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₂×#16810627	1	2	yes	—
310	C₂	#20284195	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#117×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133214	C₂
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#117	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21260
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₄×#117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810647	C₂	semidirect
3. C₂×#16810627	C₂	semidirect
4. #20275642	C₂	semidirect
5. C₄×#117×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₂×#13133214	C₄	semidirect
15. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
17. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
20. C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	semidirect
47. #117×C₅₃	D₄	semidirect
89. C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
147. C₄×C₅₃	#418	semidirect
154. C₄×#117	D₅₃	semidirect
175. C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	semidirect
179. C₅₃	#21260	semidirect
201. #117	D₂₁₂	semidirect
248. C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	semidirect
302. C₄	#16810627	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133214	2
C₂×#16810647	2
C₂×#16810627	2
#20275642	2
C₄×#117×C₅₃	2
#21260	53