Subgroups — #27388181

Order 13568.

1694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810647	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16810632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810628	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₄×#13133176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275648	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#124×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂²×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
9	#16810647	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	complemented
11	#16810632	—	2	8	no	—
12	#16810628	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	complemented
14	C₂×#13133138	C₂²	1	8	yes	—
15	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
17	#16810469	—	2	1	no	—
18	C₄²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
19	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124×C₅₃	—	2	4	no	—
22	C₂×#124×C₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂×#124×C₅₃	—	2	1	no	—
24	C₂×#124×C₅₃	C₄	1	8	yes	complemented
25	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
29	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
30	C₂×#11719917	—	2	4	no	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133176	—	2	4	no	—
33	#13133176	D₄	1	8	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
38	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
39	#13133141	—	2	16	no	—
40	#13133138	—	2	16	no	—
41	#13133124	—	2	4	no	—
42	C₂⁵×C₅₃	—	2	1	no	—
43	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#124×C₅₃	—	2	8	no	—
59	#124×C₅₃	—	2	8	no	—
60	#124×C₅₃	—	2	8	no	—
61	#124×C₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂⁴×C₅₃	—	4	8	no	—
73	C₂⁴×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	4	8	no	—
118	#11719917	—	4	8	no	—
119	C₂×#88322	—	2	4	no	—
120	C₂×#88322	—	2	4	no	—
121	C₂×#88322	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	8	16	no	—
129	C₂³×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	#121	1	4	yes	—
131	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
134	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
135	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
136	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
137	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
159	#88322	—	4	4	no	—
160	#21261	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	8	16	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	8	8	no	—
167	C₂²×C₅₃	#390	1	4	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	2	yes	—
170	C₂²×C₅₃	#575	1	4	yes	—
171	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
174	C₄×C₅₃	#390	1	4	yes	—
175	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
178	Dic₅₃	—	4	8	no	—
179	C₂²×#124	D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂×#423	—	53	1	no	—
181	C₂×#419	—	53	2	no	—
182	C₂×#418	—	53	2	no	—
183	C₄×#117	—	53	1	no	—
184	#1983	—	53	8	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
187	C₂×C₅₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#2896	1	2	yes	—
189	C₂×C₅₃	#3040	1	4	yes	—
190	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
193	C₂×#124	—	2	4	no	—
194	C₂×#124	—	2	1	no	—
195	C₂×#124	—	2	1	no	—
196	C₂×#124	Dic₅₃	1	8	yes	complemented
197	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
198	C₂×#117	—	53	2	no	—
199	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#423	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
203	#419	—	106	8	no	—
204	#418	—	106	8	no	—
205	C₂×#103	—	53	8	no	—
206	C₂×#102	—	53	8	no	—
207	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
208	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
209	#376	—	106	1	no	—
210	C₄³	—	106	1	no	—
211	C₅₃	#21261	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂⁵	—	2	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
218	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
219	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
224	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
227	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
232	#124	—	2	8	no	—
233	#124	—	2	8	no	—
234	#124	—	2	8	no	—
235	#124	C₂×Dic₅₃	1	16	yes	—
236	#117	—	53	8	no	—
237	#117	—	106	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄²	—	106	4	no	—
245	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	4	yes	—
246	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
251	#103	—	106	16	no	—
252	#102	—	106	16	no	—
253	#95	—	106	4	no	—
254	C₂⁴	—	2	4	no	—
255	C₂⁴	—	2	2	no	—
256	C₂⁴	—	4	8	no	—
257	C₂⁴	—	4	4	no	—
258	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	16	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
282	C₂²×C₄	C₂²⋊Dic₅₃	1	8	yes	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	M₁₆	—	212	8	no	—
292	C₂×C₈	—	106	4	no	—
293	C₂×C₈	—	106	4	no	—
294	C₂×C₈	—	106	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
300	C₄²	—	106	8	no	—
301	C₄²	—	212	8	no	—
302	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
303	C₄²	C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
304	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	16	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	8	16	no	—
313	C₂³	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
314	C₂³	#13133188	1	4	yes	—
315	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	8	no	—
317	Q₈	—	4	8	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	D₄	—	2	8	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	8	no	—
331	C₂×C₄	—	212	8	no	—
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#13133188	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#13133204	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
343	C₈	—	212	4	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	8	16	no	—
349	C₂²	—	8	8	no	—
350	C₂²	#16810526	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#13133188	1	2	yes	—
353	C₂²	#16811421	1	4	yes	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	212	8	no	—
358	C₄	#16810526	1	4	yes	—
359	C₄	C₂×D₄×Dic₅₃	1	2	yes	—
360	C₄	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	—	8	4	no	—
364	C₂	C₂×#16810526	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20283234	1	2	yes	—
366	C₂	#20284205	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×#124×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#124	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21261
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810647	C₂	semidirect
2. C₂×#16810632	C₂	semidirect
4. C₄×#13133176	C₂	semidirect
5. #20275648	C₂	semidirect
10. C₂×C₄⋊#88322	C₂²	semidirect
13. C₂×#13133141	C₂²	semidirect
15. C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
24. C₂×#124×C₅₃	C₄	semidirect
196. C₂×#124	Dic₅₃	semidirect
211. C₅₃	#21261	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810647	2
C₂×#16810632	2
C₂×#16810628	2
C₄×#13133176	2
#20275648	2
C₂²×#124×C₅₃	2
#21261	53