Subgroups — #27388263

Order 13568.

962 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20275514	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275439	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275323	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274477	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄²×D₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#16810680	—	2	8	no	—
10	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
33	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
34	C₄⋊#88322	—	2	8	no	—
35	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
36	C₂²⋊#88322	—	2	8	no	—
37	#13133128	—	2	4	no	—
38	#13133128	—	2	4	no	—
39	#13133128	—	2	2	no	—
40	#13133128	D₄	1	4	yes	complemented
41	C₄×#88322	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#95×C₅₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₅₃	M₁₆	1	8	yes	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
102	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
103	C₂×#88322	—	2	2	no	—
104	C₂×#88322	—	2	2	no	—
105	C₂×#88322	—	2	2	no	—
106	C₂×#88322	—	2	2	no	—
107	C₂×#88322	—	2	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
120	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
148	#88322	—	2	4	no	—
149	#88322	—	2	4	no	—
150	#88322	—	4	4	no	—
151	#21271	—	53	1	no	maximal, Sylow
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#568	1	2	yes	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	#532	1	2	yes	—
173	C₂×#432	—	53	2	no	—
174	C₄²×D₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	#1955	—	53	2	no	—
176	#1940	—	53	2	no	—
177	#1923	—	53	4	no	—
178	#1767	—	53	1	no	—
179	#1749	—	53	2	no	—
180	C₄×#97	—	53	1	no	—
181	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#2920	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#2923	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
186	C₂×C₅₃	#2970	1	2	yes	—
187	C₂×C₄×D₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
188	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#432	—	106	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	4	no	—
195	C₂×#97	—	53	1	no	—
196	C₂×#97	—	53	2	no	—
197	C₂×#97	—	53	2	no	—
198	C₂×#97	—	53	1	no	—
199	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
200	C₄×C₄⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
201	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
203	C₄×C₂²⋊C₄	Dic₅₃	1	2	yes	—
204	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#336	—	53	2	no	—
207	#336	—	53	4	no	—
208	C₅₃	#21271	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂²×D₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
211	C₂³×C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
212	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
214	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
215	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
216	C₄×D₄	—	2	8	no	—
217	C₄×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₈	—	106	8	no	—
234	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	106	8	no	—
237	#97	—	53	4	no	—
238	#97	—	106	4	no	—
239	#97	—	106	4	no	—
240	#97	—	106	2	no	—
241	C₄×C₈	—	106	4	no	—
242	#95	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
243	#95	C₂×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
245	#95	C₂×Dic₅₃	1	2	yes	—
246	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅₃	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	—	53	4	no	—
268	C₂×C₈	—	53	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	2	no	—
270	C₂×C₈	—	106	2	no	—
271	C₂×C₈	—	106	2	no	—
272	C₂×C₈	—	106	2	no	—
273	C₂×C₈	—	106	4	no	—
274	C₂×C₈	—	106	4	no	—
275	C₂×C₈	—	106	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	#11719917	1	8	yes	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	4	2	no	—
288	C₄²	#11719945	1	4	yes	—
289	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
290	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	C₂×#11719917	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
299	D₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	#13133176	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133176	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	D₄×Dic₅₃	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#11719917	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
327	C₈	—	106	4	no	—
328	C₈	—	106	4	no	—
329	C₈	—	212	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	C₂×#13133176	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×D₄×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#41×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#11719917	1	2	yes	—
341	C₂²	#16811390	1	2	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	#16811155	1	2	yes	—
350	C₄	#16811170	1	2	yes	—
351	C₂	—	4	4	no	—
352	C₂	#20277180	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20283348	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20283366	1	1	yes	characteristic
355	C₂	D₄×#11719917	1	2	yes	—
356	C₂	#20283729	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄
Fitting	C₄²×D₄×C₅₃	C₂
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄²×D₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21271
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810680	C₂	semidirect
3. #20275439	C₂	semidirect
4. #20275323	C₂	semidirect
5. #20274568	C₂	semidirect
6. #20274477	C₂	semidirect
7. C₄×#13133128	C₂	semidirect
40. #13133128	D₄	semidirect
208. C₅₃	#21271	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810680	2
#20275514	2
#20275439	2
#20275323	2
#20274568	2
#20274477	2
C₄×#13133128	2
C₄²×D₄×C₅₃	2
#21271	53