Subgroups — #27388308

Order 13568.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275579	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275396	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#107×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133174	—	2	2	no	—
12	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810524	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810519	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810512	—	2	4	no	—
22	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
23	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
32	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
34	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
35	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	#13133174	—	4	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#13133137	—	2	8	no	—
49	C₄×#88322	—	2	2	no	—
50	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
51	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
52	#13133124	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#107×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
70	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
85	#11719921	—	2	8	no	—
86	#11719921	—	4	8	no	—
87	#11719921	—	4	8	no	—
88	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	#11719919	—	4	8	no	—
91	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄×Dic₅₃	D₈	1	4	yes	complemented
96	C₂×#88322	—	2	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	2	no	—
98	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
99	D₄₂₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
126	C₂×Dic₅₃	#135	1	4	yes	—
127	D₂₁₂	—	2	4	no	—
128	D₂₁₂	—	2	4	no	—
129	D₂₁₂	—	4	4	no	—
130	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
131	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	complemented
133	#88322	—	2	4	no	—
134	#21275	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
140	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
144	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
147	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	4	yes	—
148	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
151	Dic₅₃	—	2	4	no	—
152	Dic₅₃	—	2	4	no	—
153	Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
155	#2293	—	53	2	no	—
156	#1970	—	53	2	no	—
157	#1942	—	53	2	no	—
158	#1934	—	53	4	no	—
159	C₄×#107	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
160	C₄×#102	—	53	2	no	—
161	C₄²×C₈	—	53	1	no	—
162	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	#3168	1	2	yes	—
166	C₂×C₅₃	#3169	1	2	yes	—
167	D₅₃	—	8	4	no	—
168	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
169	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
170	C₂×#117	—	106	2	no	—
171	C₄×D₈	—	53	8	no	—
172	C₂×#107	—	53	1	no	—
173	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
174	C₂×#102	—	53	2	no	—
175	C₂×#102	—	53	4	no	—
176	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
177	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
178	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
179	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#390	—	53	4	no	—
181	#389	—	53	4	no	—
182	#388	—	106	4	no	—
183	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
185	C₄³	—	53	1	no	—
186	#340	—	53	4	no	—
187	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₅₃	#21275	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
190	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
191	C₂×D₈	—	53	4	no	—
192	C₂×D₈	—	106	4	no	—
193	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
194	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₄×D₄	—	53	8	no	—
197	C₄×D₄	—	106	4	no	—
198	#117	—	212	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
207	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	2	4	no	—
212	#107	—	53	4	no	—
213	#102	—	53	8	no	—
214	#102	—	106	8	no	—
215	C₄×C₈	—	106	4	no	—
216	C₄×C₈	—	106	4	no	—
217	C₄×C₈	—	106	2	no	—
218	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	106	4	no	—
221	C₂⁴	—	106	2	no	—
222	C₂×D₄	—	53	4	no	—
223	C₂×D₄	—	106	4	no	—
224	C₂×D₄	—	106	4	no	—
225	C₂×D₄	—	106	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
233	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	106	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	53	4	no	—
239	C₂×C₈	—	106	2	no	—
240	C₂×C₈	—	106	2	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
252	C₄²	—	4	4	no	—
253	C₄²	—	53	4	no	—
254	C₄²	—	106	4	no	—
255	C₄²	—	106	2	no	—
256	C₄²	—	106	2	no	—
257	C₄²	—	106	2	no	—
258	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
260	C₂³	—	106	4	no	—
261	C₂³	—	212	2	no	—
262	C₂³	—	212	4	no	—
263	C₂³	—	212	2	no	—
264	C₂³	—	212	4	no	—
265	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	106	4	no	—
267	D₄	—	106	4	no	—
268	D₄	—	212	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	53	4	no	—
274	C₂×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂×C₄	—	106	4	no	—
280	C₂×C₄	—	212	2	no	—
281	C₂×C₄	—	212	2	no	—
282	C₂×C₄	—	212	16	no	—
283	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#13133240	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	106	4	no	—
293	C₈	#13133174	1	4	yes	complemented
294	C₂²	—	424	4	no	—
295	C₂²	—	424	4	no	—
296	C₂²	—	212	4	no	—
297	C₂²	—	212	4	no	—
298	C₂²	—	212	4	no	—
299	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#16811170	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#135×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂×#13133240	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	8	4	no	—
306	C₄	—	106	4	no	—
307	C₄	—	106	4	no	—
308	C₄	—	212	4	no	—
309	C₄	#16810705	1	4	yes	—
310	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#16811091	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#16811160	1	2	yes	—
313	C₂	—	424	4	no	—
314	C₂	#20277176	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×#16810705	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#20283486	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#20285288	1	2	yes	—
318	C₂	#20285291	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#107×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#107	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21275
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#107

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277176	C₂	semidirect
4. #20275446	C₂	semidirect
5. #20275396	C₂	semidirect
6. C₄×#13133137	C₂	semidirect
7. C₄×C₈×Dic₅₃	C₂	semidirect
8. C₄×#107×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
95. C₄×Dic₅₃	D₈	semidirect
132. C₈×C₅₃	#117	semidirect
159. C₄×#107	D₅₃	semidirect
188. C₅₃	#21275	semidirect
293. C₈	#13133174	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277176	2
#20275579	2
#20275446	2
#20275396	2
C₄×#13133137	2
C₄×C₈×Dic₅₃	2
C₄×#107×C₅₃	2
#21275	53