Subgroups — #27388311

Order 13568.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277179	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275581	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275398	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#13133139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄²×C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133174	—	2	2	no	—
12	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810525	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810514	—	2	4	no	—
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
22	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
32	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	#13133174	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	#13133151	—	2	4	no	—
44	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#13133139	—	2	8	no	—
46	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
70	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
82	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄²×C₅₃	D₈	1	4	yes	complemented
88	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
90	#11719921	—	2	8	no	—
91	#11719921	—	4	8	no	—
92	#11719921	—	4	8	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	#11719919	—	4	8	no	—
98	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
99	D₄₂₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
127	D₂₁₂	—	2	4	no	—
128	D₂₁₂	—	2	4	no	—
129	D₂₁₂	—	4	4	no	—
130	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
131	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	complemented
134	#21275	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
137	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
140	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
144	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	4	yes	—
149	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
152	Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	Dic₅₃	—	8	4	no	—
154	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
155	#2293	—	53	2	no	—
156	#1970	—	53	2	no	—
157	#1942	—	53	2	no	—
158	#1934	—	53	4	no	—
159	C₄×#107	—	53	1	no	—
160	C₄×#102	—	53	2	no	—
161	C₄²×C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
162	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	#3168	1	2	yes	—
166	C₂×C₅₃	#3169	1	2	yes	—
167	D₅₃	—	8	4	no	—
168	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
169	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
170	C₂×#117	—	106	2	no	—
171	C₄×D₈	—	53	8	no	—
172	C₂×#107	—	53	1	no	—
173	C₂×#107	—	53	2	no	—
174	C₂×#102	—	53	2	no	—
175	C₂×#102	—	53	4	no	—
176	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#390	—	53	4	no	—
181	#389	—	53	4	no	—
182	#388	—	106	4	no	—
183	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
185	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	#340	—	53	2	no	—
187	#340	—	53	4	no	—
188	C₅₃	#21275	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
190	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
191	C₂×D₈	—	53	4	no	—
192	C₂×D₈	—	106	4	no	—
193	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	C₄×D₄	—	53	8	no	—
197	C₄×D₄	—	106	4	no	—
198	#117	—	212	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
206	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#107	—	53	4	no	—
212	#107	—	106	4	no	—
213	#102	—	53	8	no	—
214	#102	—	106	8	no	—
215	C₄×C₈	—	2	4	no	—
216	C₄×C₈	—	2	4	no	—
217	C₄×C₈	—	2	2	no	—
218	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
219	#95	—	106	4	no	—
220	#95	—	106	2	no	—
221	C₂⁴	—	106	2	no	—
222	C₂×D₄	—	53	4	no	—
223	C₂×D₄	—	106	4	no	—
224	C₂×D₄	—	106	4	no	—
225	C₂×D₄	—	106	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	106	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	212	4	no	—
257	C₄²	D₄₂₄	1	4	yes	complemented
258	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
260	C₂³	—	106	4	no	—
261	C₂³	—	212	2	no	—
262	C₂³	—	212	4	no	—
263	C₂³	—	212	2	no	—
264	C₂³	—	212	4	no	—
265	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	106	4	no	—
267	D₄	—	106	4	no	—
268	D₄	—	212	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	106	4	no	—
275	C₂×C₄	—	212	4	no	—
276	C₂×C₄	—	212	4	no	—
277	C₂×C₄	—	212	4	no	—
278	C₂×C₄	—	212	2	no	—
279	C₂×C₄	—	212	2	no	—
280	C₂×C₄	—	212	16	no	—
281	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	2	4	no	—
293	C₈	#13133174	1	4	yes	complemented
294	C₂²	—	424	4	no	—
295	C₂²	—	424	4	no	—
296	C₂²	—	212	4	no	—
297	C₂²	—	212	4	no	—
298	C₂²	—	212	4	no	—
299	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	#16811173	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#13133239	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	424	4	no	—
308	C₄	—	212	4	no	—
309	C₄	C₄×D₄₂₄	1	4	yes	—
310	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
311	C₄	C₄×#11719945	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#16811157	1	2	yes	—
313	C₂	—	424	4	no	—
314	C₂	#20277179	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×C₄×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₄×#13133239	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#20285285	1	2	yes	—
318	C₂	#20285294	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄²×C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄²×C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21275
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄³ ◁ C₄²×C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277179	C₂	semidirect
4. #20275448	C₂	semidirect
5. #20275398	C₂	semidirect
6. C₄×#13133151	C₂	semidirect
7. C₄×#13133139	C₂	semidirect
8. C₄²×C₈×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
87. C₄²×C₅₃	D₈	semidirect
133. C₈×C₅₃	#117	semidirect
161. C₄²×C₈	D₅₃	semidirect
188. C₅₃	#21275	semidirect
257. C₄²	D₄₂₄	semidirect
293. C₈	#13133174	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277179	2
#20275581	2
#20275448	2
#20275398	2
C₄×#13133151	2
C₄×#13133139	2
C₄²×C₈×C₅₃	2
#21275	53