Subgroups — #27388370

Order 13568.

862 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275579	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274543	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#107×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810524	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810519	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810514	—	2	4	no	—
21	#16810485	—	2	2	no	—
22	#16810482	—	2	2	no	—
23	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
32	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
34	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
35	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	#13133137	—	2	8	no	—
45	#13133128	—	2	2	no	—
46	#13133127	—	2	4	no	—
47	C₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	#13133124	D₄	1	2	yes	—
50	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
51	#13133124	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#107×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
69	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
70	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
71	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
74	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
81	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	#11719921	—	2	8	no	—
84	#11719921	—	8	4	no	—
85	#11719921	—	8	4	no	—
86	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	#11719919	—	8	4	no	—
89	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×#88322	—	2	2	no	—
92	C₂×#88322	—	2	2	no	—
93	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
94	D₄₂₄	—	2	8	no	—
95	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
121	D₂₁₂	—	2	4	no	—
122	D₂₁₂	—	2	4	no	—
123	D₂₁₂	—	4	4	no	—
124	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
125	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	—
127	#88322	—	2	4	no	—
128	#21282	—	53	1	no	maximal, Sylow
129	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
131	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
133	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
134	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
139	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
142	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
143	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
145	Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
149	#2319	—	53	2	no	—
150	#1970	—	53	2	no	—
151	#1942	—	53	2	no	—
152	#1936	—	53	4	no	—
153	C₄×#107	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
154	#1762	—	53	2	no	—
155	#1726	—	53	1	no	—
156	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	#2951	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	#3175	1	2	yes	—
160	C₂×C₅₃	#3176	1	2	yes	—
161	D₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
163	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
164	C₄×D₈	—	53	8	no	—
165	C₂×#107	—	53	1	no	—
166	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
167	C₂×#102	—	53	2	no	—
168	C₂×#102	—	53	4	no	—
169	C₂×#97	—	53	2	no	—
170	C₂×#97	—	53	1	no	—
171	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
172	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	#390	—	53	4	no	—
174	#389	—	53	4	no	—
175	#388	—	106	4	no	—
176	#381	—	106	2	no	—
177	#380	—	106	2	no	—
178	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
179	#376	—	53	1	no	—
180	#340	—	53	4	no	—
181	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₅₃	#21282	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
183	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
184	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
185	C₂×D₈	—	53	4	no	—
186	C₂×D₈	—	106	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
188	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₄×D₄	—	53	8	no	—
191	C₄×D₄	—	106	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
200	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	2	4	no	—
202	#107	—	53	4	no	—
203	#102	—	53	8	no	—
204	#102	—	106	8	no	—
205	#97	—	106	4	no	—
206	#97	—	106	2	no	—
207	C₄×C₈	—	106	4	no	—
208	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	#95	—	53	1	no	—
211	#95	—	53	1	no	—
212	#95	—	53	2	no	—
213	#95	—	106	4	no	—
214	C₂⁴	—	106	2	no	—
215	C₂×D₄	—	53	4	no	—
216	C₂×D₄	—	106	4	no	—
217	C₂×D₄	—	106	4	no	—
218	C₂×D₄	—	106	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
225	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	D₈	—	106	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	53	4	no	—
231	C₂×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂×C₈	—	106	2	no	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
244	C₄²	—	8	2	no	—
245	C₄²	—	106	2	no	—
246	C₄²	—	106	2	no	—
247	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
249	C₂³	—	106	4	no	—
250	C₂³	—	212	2	no	—
251	C₂³	—	212	4	no	—
252	C₂³	—	212	4	no	—
253	C₂³	—	212	2	no	—
254	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	D₄	—	106	4	no	—
256	D₄	—	106	4	no	—
257	D₄	—	212	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂×C₄	—	106	2	no	—
266	C₂×C₄	—	106	2	no	—
267	C₂×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂×C₄	—	106	2	no	—
271	C₂×C₄	—	424	8	no	—
272	C₂×C₄	—	212	4	no	—
273	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#13133179	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
279	C₈	—	2	2	no	—
280	C₈	—	106	4	no	—
281	C₈	#13133174	1	4	yes	—
282	C₂²	—	424	4	no	—
283	C₂²	—	424	4	no	—
284	C₂²	—	212	4	no	—
285	C₂²	—	212	4	no	—
286	C₂²	—	212	4	no	—
287	C₂²	C₂×#13133179	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#16811170	1	2	yes	—
289	C₂²	#16811424	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#16811425	1	2	yes	—
291	C₂²	#16811436	1	1	yes	characteristic
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	8	4	no	—
295	C₄	—	212	2	no	—
296	C₄	—	212	4	no	—
297	C₄	—	212	2	no	—
298	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#16811091	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#16811160	1	2	yes	—
301	C₂	—	424	4	no	—
302	C₂	#20277176	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#20283566	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#20283589	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#20285356	1	2	yes	—
306	C₂	#20285361	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#107×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#107	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21282
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#107

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277353	C₂	semidirect
4. #20275446	C₂	semidirect
5. #20275410	C₂	semidirect
6. #20274543	C₂	semidirect
7. #20274401	C₂	semidirect
8. C₄×#107×C₅₃	C₂	semidirect
11. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
153. C₄×#107	D₅₃	semidirect
182. C₅₃	#21282	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277353	2
#20275579	2
#20275446	2
#20275410	2
#20274543	2
#20274401	2
C₄×#107×C₅₃	2
#21282	53