Subgroups — #27388389

Order 13568.

862 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275591	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275398	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133149	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×D₄₂₄	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810525	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810521	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810512	—	2	4	no	—
19	#16810485	—	2	2	no	—
20	#16810482	—	2	2	no	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
31	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
32	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₄×D₂₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	#13133151	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#13133149	—	2	4	no	—
44	#13133139	—	2	8	no	—
45	#13133139	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	#13133124	—	2	4	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
54	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₄×C₈×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
67	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
68	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
69	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
72	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
78	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
79	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	#11719921	—	2	8	no	—
84	#11719921	—	8	4	no	—
85	#11719921	—	8	4	no	—
86	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	#11719919	—	8	4	no	—
91	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
92	D₄₂₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
96	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
115	D₂₁₂	—	2	4	no	—
116	D₂₁₂	—	2	4	no	—
117	D₂₁₂	—	4	4	no	—
118	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
119	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₈×C₅₃	#117	1	4	yes	—
122	#21284	—	53	1	no	maximal, Sylow
123	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₅₃	#532	1	2	yes	—
125	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
126	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
127	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
131	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
132	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
135	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₅₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
138	Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	Dic₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×C₄×D₈	—	53	1	no	—
141	#2319	—	53	2	no	—
142	#1972	—	53	2	no	—
143	#1943	—	53	2	no	—
144	#1934	—	53	4	no	—
145	C₄×#106	—	53	1	no	—
146	#1762	—	53	2	no	—
147	#1726	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
148	C₂×C₅₃	#2293	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₅₃	#2948	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₅₃	#2952	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₅₃	#3179	1	4	yes	—
152	D₅₃	—	8	4	no	—
153	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
154	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
155	C₄×D₈	—	53	8	no	—
156	C₂×#107	—	53	1	no	—
157	C₂×#106	—	53	2	no	—
158	C₂×#102	—	53	2	no	—
159	C₂×#102	—	53	4	no	—
160	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
161	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	#390	—	53	4	no	—
165	#389	—	53	4	no	—
166	#388	—	106	4	no	—
167	#381	—	106	2	no	—
168	#380	—	106	2	no	—
169	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
170	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	#340	—	53	2	no	—
172	#340	—	53	4	no	—
173	C₅₃	#21284	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
175	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
176	C₂×D₈	—	53	4	no	—
177	C₂×D₈	—	106	4	no	—
178	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄×D₄	—	53	8	no	—
182	C₄×D₄	—	106	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
190	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#107	—	53	4	no	—
193	#106	—	106	4	no	—
194	#102	—	53	8	no	—
195	#102	—	106	8	no	—
196	#97	—	2	4	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	C₄×D₅₃	1	4	yes	—
200	#95	—	106	2	no	—
201	#95	—	106	4	no	—
202	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
203	#95	D₂₁₂	1	2	yes	—
204	C₂⁴	—	106	2	no	—
205	C₂×D₄	—	53	4	no	—
206	C₂×D₄	—	106	4	no	—
207	C₂×D₄	—	106	4	no	—
208	C₂×D₄	—	106	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	D₈	—	106	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	#11719945	1	4	yes	—
225	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	424	2	no	—
236	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
238	C₂³	—	106	4	no	—
239	C₂³	—	212	4	no	—
240	C₂³	—	212	4	no	—
241	C₂³	—	212	2	no	—
242	C₂³	—	212	2	no	—
243	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
244	D₄	—	106	4	no	—
245	D₄	—	106	4	no	—
246	D₄	—	212	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	106	4	no	—
253	C₂×C₄	—	424	8	no	—
254	C₂×C₄	—	212	4	no	—
255	C₂×C₄	—	212	4	no	—
256	C₂×C₄	—	212	4	no	—
257	C₂×C₄	—	212	4	no	—
258	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
264	C₈	—	2	2	no	—
265	C₈	—	2	4	no	—
266	C₈	#13133174	1	4	yes	—
267	C₂²	—	424	4	no	—
268	C₂²	—	424	4	no	—
269	C₂²	—	212	4	no	—
270	C₂²	—	212	4	no	—
271	C₂²	—	212	4	no	—
272	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#16811173	1	2	yes	—
274	C₂²	#16811428	1	2	yes	—
275	C₂²	#16811435	1	2	yes	—
276	C₄	—	2	2	no	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	4	4	no	—
279	C₄	—	424	4	no	—
280	C₄	—	212	4	no	—
281	C₄	C₂×#13133174	1	1	yes	characteristic
282	C₄	C₄×#11719945	1	1	yes	characteristic
283	C₄	#16811157	1	2	yes	—
284	C₂	—	424	4	no	—
285	C₂	#20277179	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#20283568	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#20283600	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#20285398	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1726	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#1726	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#21284
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #1726

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277359	C₂	semidirect
4. #20275453	C₂	semidirect
5. #20275398	C₂	semidirect
6. C₄×#13133149	C₂	semidirect
7. #20274541	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1726	C₂	semidirect
11. C₄×D₄₂₄	C₄	semidirect
147. #1726	D₅₃	semidirect
173. C₅₃	#21284	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₄₂₄	2
#20277359	2
#20275591	2
#20275453	2
#20275398	2
C₄×#13133149	2
#20274541	2
C₅₃×#1726	2
#21284	53